Номер 1.241, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.241. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

а) $\frac{21}{m^2} \cdot \left(\frac{m}{7} + \frac{m}{2}\right)$;

б) $\left(\frac{3}{a+b} - \frac{2}{a-b}\right) : \frac{a-5b}{a-b}$.

а) Чтобы представить выражение $\frac{21}{m^2} \cdot (\frac{m}{7} + \frac{m}{2})$ в виде рациональной дроби, выполним следующие действия по порядку:

1. Упростим выражение в скобках. Для сложения дробей $\frac{m}{7}$ и $\frac{m}{2}$ приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 2 равен 14.
   $\frac{m}{7} + \frac{m}{2} = \frac{m \cdot 2}{14} + \frac{m \cdot 7}{14} = \frac{2m + 7m}{14} = \frac{9m}{14}$
2. Выполним умножение. Умножим результат, полученный в скобках, на дробь $\frac{21}{m^2}$.
   $\frac{21}{m^2} \cdot \frac{9m}{14} = \frac{21 \cdot 9m}{m^2 \cdot 14}$
3. Сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты (21 и 14 на 7) и переменные ($m$ и $m^2$ на $m$).
   $\frac{21 \cdot 9m}{14 \cdot m^2} = \frac{(3 \cdot 7) \cdot 9 \cdot m}{(2 \cdot 7) \cdot m \cdot m} = \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot m} = \frac{27}{2m}$

Полученное выражение $\frac{27}{2m}$ является правильной рациональной дробью, так как степень числителя (0, т.к. $m^0=1$) меньше степени знаменателя (1). Следовательно, правило о выделении целой части, применимое к неправильным дробям, здесь не используется.

Ответ: $\frac{27}{2m}$

б) Чтобы представить выражение $(\frac{3}{a+b} - \frac{2}{a-b}) : \frac{a-5b}{a-b}$ в виде рациональной дроби, выполним следующие действия по порядку:

1. Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
   $\frac{3}{a+b} - \frac{2}{a-b} = \frac{3(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{2(a+b)}{(a+b)(a-b)}$
   $= \frac{3a - 3b - (2a + 2b)}{a^2 - b^2} = \frac{3a - 3b - 2a - 2b}{a^2 - b^2} = \frac{a - 5b}{a^2 - b^2}$
2. Выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.
   $\frac{a - 5b}{a^2 - b^2} : \frac{a-5b}{a-b} = \frac{a - 5b}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a-b}{a-5b}$
3. Сократим дробь. Разложим знаменатель $a^2 - b^2$ на множители по формуле разности квадратов и сократим одинаковые множители $(a-5b)$ и $(a-b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что они не равны нулю).
   $\frac{\cancel{a - 5b}}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{\cancel{a-5b}} = \frac{\cancel{a-b}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{1}{a+b}$

Полученное выражение $\frac{1}{a+b}$ является правильной рациональной дробью, так как степень числителя (0) меньше степени знаменателя (1). Таким образом, выделение целой части не требуется.

Ответ: $\frac{1}{a+b}$