Номер 1.234, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.234*. Преобразуйте рациональное выражение

$\left(\frac{y^2 - xy}{xy^2 + x^3} - \frac{2y^2}{x^3 - x^2y + xy^2 - y^3}\right) \cdot \left(1 - \frac{x - 1}{y} - \frac{x}{y^2}\right) \cdot \frac{xy}{y + 1}.$

Для решения задачи выполним преобразование по действиям.

Сначала разложим на множители знаменатели и числитель первой дроби:

• $ y^2 - xy = y(y-x) = -y(x-y) $
• $ xy^2 + x^3 = x(y^2 + x^2) $
• $ x^3 - x^2y + xy^2 - y^3 = (x^3 - x^2y) + (xy^2 - y^3) = x^2(x-y) + y^2(x-y) = (x-y)(x^2 + y^2) $

Подставим разложенные выражения обратно в скобку:

$ \frac{-y(x-y)}{x(x^2 + y^2)} - \frac{2y^2}{(x-y)(x^2 + y^2)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ x(x-y)(x^2 + y^2) $:

$ \frac{-y(x-y) \cdot (x-y)}{x(x^2 + y^2)(x-y)} - \frac{2y^2 \cdot x}{x(x^2 + y^2)(x-y)} = \frac{-y(x-y)^2 - 2xy^2}{x(x-y)(x^2 + y^2)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$ \frac{-y(x^2 - 2xy + y^2) - 2xy^2}{x(x-y)(x^2 + y^2)} = \frac{-x^2y + 2xy^2 - y^3 - 2xy^2}{x(x-y)(x^2 + y^2)} = \frac{-x^2y - y^3}{x(x-y)(x^2 + y^2)} $

Вынесем общий множитель $ -y $ в числителе:

$ \frac{-y(x^2 + y^2)}{x(x-y)(x^2 + y^2)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x^2 + y^2) $:

$ \frac{-y}{x(x-y)} $

Ответ: $ \frac{-y}{x(x-y)} $

Приведем все члены к общему знаменателю $ y^2 $:

$ \frac{y^2}{y^2} - \frac{y(x-1)}{y^2} - \frac{x}{y^2} = \frac{y^2 - y(x-1) - x}{y^2} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{y^2 - xy + y - x}{y^2} $

Разложим числитель на множители методом группировки:

$ y^2 + y - xy - x = y(y+1) - x(y+1) = (y-x)(y+1) $

Таким образом, выражение во второй скобке равно:

$ \frac{(y-x)(y+1)}{y^2} $

Ответ: $ \frac{(y-x)(y+1)}{y^2} $

Теперь перемножим результаты первого и второго действий, а также третий множитель $ \frac{xy}{y+1} $:

$ \left( \frac{-y}{x(x-y)} \right) \cdot \left( \frac{(y-x)(y+1)}{y^2} \right) \cdot \frac{xy}{y+1} $

Заметим, что $ y-x = -(x-y) $. Подставим это в выражение:

$ \left( \frac{-y}{x(x-y)} \right) \cdot \left( \frac{-(x-y)(y+1)}{y^2} \right) \cdot \frac{xy}{y+1} $

Произведение двух отрицательных выражений положительно. Запишем все под одной дробной чертой:

$ \frac{y \cdot (x-y) \cdot (y+1) \cdot xy}{x \cdot (x-y) \cdot y^2 \cdot (y+1)} $

Сократим общие множители $x$, $y^2$, $(x-y)$ и $(y+1)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{x} \cdot \cancel{y^2} \cdot \cancel{(x-y)} \cdot \cancel{(y+1)}}{\cancel{x} \cdot \cancel{y^2} \cdot \cancel{(x-y)} \cdot \cancel{(y+1)}} = 1 $

Ответ: 1