Номер 1.231, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.231. Найдите значение выражения

$(\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} - \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} + 4\sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})$ при $x = 7,25$.

Для решения данной задачи необходимо сначала упростить исходное выражение, а затем подставить в него значение $x$.

Сначала выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) = x-1$.

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} = \frac{(\sqrt{x}+1)^2 - (\sqrt{x}-1)^2}{x-1}$

Числитель можно упростить, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(\sqrt{x}+1)^2 - (\sqrt{x}-1)^2 = ((\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1)) \cdot ((\sqrt{x}+1) + (\sqrt{x}-1)) = (2) \cdot (2\sqrt{x}) = 4\sqrt{x}$

Таким образом, разность дробей равна $\frac{4\sqrt{x}}{x-1}$.

Теперь добавим к полученному результату третье слагаемое из скобки, $4\sqrt{x}$:

$\frac{4\sqrt{x}}{x-1} + 4\sqrt{x} = \frac{4\sqrt{x} + 4\sqrt{x}(x-1)}{x-1} = \frac{4\sqrt{x} + 4x\sqrt{x} - 4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{4x\sqrt{x}}{x-1}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{x-1}{\sqrt{x}}$

Теперь перемножим результаты, полученные для каждой из скобок:

$(\frac{4x\sqrt{x}}{x-1}) \cdot (\frac{x-1}{\sqrt{x}})$

Сократим одинаковые множители $(x-1)$ и $\sqrt{x}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{4x\sqrt{x}}{x-1} \cdot \frac{x-1}{\sqrt{x}} = 4x$

Итак, все исходное выражение упрощается до $4x$. Теперь подставим в него заданное значение $x = 7,25$.

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $7,25$ в виде обыкновенной неправильной дроби:

$x = 7,25 = 7\frac{25}{100} = 7\frac{1}{4} = \frac{7 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{29}{4}$

Найдем значение выражения:

$4x = 4 \cdot \frac{29}{4} = 29$

Ответ: 29