Номер 1.243, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.243. Выполните преобразование рационального выражения:

a) $(a - \frac{1+a^2}{a-1}) : \frac{a^2+2a+1}{a-1}$

б) $(\frac{21}{m+4} + m - 4) \cdot \frac{m^2+8m+16}{m^2+5}$

В) $\frac{x+6}{x^2-4} - \frac{1}{x^2-4} : \frac{x}{x^2+4x+4}$

а) Выполним преобразование по шагам:

1. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем $a$ к знаменателю $a-1$:

   $a - \frac{1+a^2}{a-1} = \frac{a(a-1)}{a-1} - \frac{1+a^2}{a-1} = \frac{a^2-a - (1+a^2)}{a-1} = \frac{a^2-a-1-a^2}{a-1} = \frac{-a-1}{a-1} = -\frac{a+1}{a-1}$

2. Упростим делитель. Числитель $a^2+2a+1$ является полным квадратом суммы $(a+1)^2$.

   $\frac{a^2+2a+1}{a-1} = \frac{(a+1)^2}{a-1}$

3. Выполним деление. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь.

   $\left(-\frac{a+1}{a-1}\right) : \frac{(a+1)^2}{a-1} = -\frac{a+1}{a-1} \cdot \frac{a-1}{(a+1)^2}$

4. Сократим общие множители. В числителе и знаменателе есть общие множители $(a+1)$ и $(a-1)$, которые можно сократить.

   $-\frac{\cancel{(a+1)}}{\cancel{a-1}} \cdot \frac{\cancel{a-1}}{(a+1)^{\cancel{2}}} = -\frac{1}{a+1}$

Ответ: $-\frac{1}{a+1}$

б) Выполним преобразование по шагам:

1. Упростим выражение в скобках. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $m+4$.

   $\frac{21}{m+4} + m - 4 = \frac{21}{m+4} + \frac{(m-4)(m+4)}{m+4} = \frac{21 + (m^2-16)}{m+4} = \frac{21+m^2-16}{m+4} = \frac{m^2+5}{m+4}$

2. Упростим второй множитель. Числитель $m^2+8m+16$ — это полный квадрат суммы $(m+4)^2$.

   $\frac{m^2+8m+16}{m^2+5} = \frac{(m+4)^2}{m^2+5}$

3. Выполним умножение полученных выражений.

   $\frac{m^2+5}{m+4} \cdot \frac{(m+4)^2}{m^2+5}$

4. Сократим общие множители. Сокращаем $(m^2+5)$ и $(m+4)$.

   $\frac{\cancel{m^2+5}}{\cancel{m+4}} \cdot \frac{(m+4)^{\cancel{2}}}{\cancel{m^2+5}} = m+4$

Ответ: $m+4$

в) В данном выражении действия выполняются по порядку: сначала деление, затем вычитание. Однако, судя по расположению дробей с одинаковым знаменателем, вероятнее всего, предполагалось сначала выполнить вычитание. Решим задачу исходя из этого предположения.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители.

   $\left(\frac{x+6}{x^2-4} - \frac{1}{x^2-4}\right) = \frac{x+6-1}{x^2-4} = \frac{x+5}{x^2-4}$

2. Разложим на множители знаменатели, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

   $x^2-4 = (x-2)(x+2)$

   $x^2+4x+4 = (x+2)^2$

3. Выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь.

   $\frac{x+5}{x^2-4} : \frac{x}{x^2+4x+4} = \frac{x+5}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x+2)^2}{x}$

4. Сократим общий множитель $(x+2)$.

   $\frac{x+5}{(x-2)\cancel{(x+2)}} \cdot \frac{(x+2)^{\cancel{2}}}{x} = \frac{(x+5)(x+2)}{x(x-2)}$

5. Раскроем скобки в числителе и знаменателе, чтобы подготовиться к выделению целой части.

   $\frac{x^2+2x+5x+10}{x^2-2x} = \frac{x^2+7x+10}{x^2-2x}$

6. Выделим целую часть. Полученная дробь является неправильной, так как степень числителя (2) равна степени знаменателя (2). Выполним деление многочлена на многочлен.

   $\frac{x^2+7x+10}{x^2-2x} = \frac{(x^2-2x) + (9x+10)}{x^2-2x} = \frac{x^2-2x}{x^2-2x} + \frac{9x+10}{x^2-2x} = 1 + \frac{9x+10}{x^2-2x}$

   Целая часть равна 1.

Ответ: 1$ + \frac{9x+10}{x^2-2x}$