Номер 1.248, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.248. Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных:

а) $(a - \frac{a^2 + b^2}{a + b}) \cdot (\frac{1}{b} + \frac{2}{a - b})$;

б) $(\frac{m + n}{m - n} - \frac{m - n}{m + n}) : \frac{4mn}{n^2 - m^2}$

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от значений переменных, необходимо упростить его. Выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя его к общему знаменателю $a+b$:

$ a - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{a(a+b)}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{a^2+ab - (a^2+b^2)}{a+b} = \frac{a^2+ab - a^2 - b^2}{a+b} = \frac{ab - b^2}{a+b} = \frac{b(a-b)}{a+b} $

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя его к общему знаменателю $b(a-b)$:

$ \frac{1}{b} + \frac{2}{a-b} = \frac{1 \cdot (a-b)}{b(a-b)} + \frac{2 \cdot b}{b(a-b)} = \frac{a-b+2b}{b(a-b)} = \frac{a+b}{b(a-b)} $

3. Перемножим полученные выражения:

$ \frac{b(a-b)}{a+b} \cdot \frac{a+b}{b(a-b)} $

Сократим дроби:

$ \frac{\cancel{b}(\cancel{a-b})}{\cancel{a+b}} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{b}(\cancel{a-b})} = 1 $

Значение выражения равно 1 и не зависит от переменных $a$ и $b$ (при условии, что $a+b \neq 0$, $b \neq 0$, $a-b \neq 0$).

Ответ: 1

Упростим данное выражение по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$:

$ \frac{m+n}{m-n} - \frac{m-n}{m+n} = \frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)} - \frac{(m-n)^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m^2+2mn+n^2) - (m^2-2mn+n^2)}{m^2-n^2} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{m^2+2mn+n^2 - m^2+2mn-n^2}{m^2-n^2} = \frac{4mn}{m^2-n^2} $

2. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Также учтем, что $n^2-m^2 = -(m^2-n^2)$:

$ \frac{4mn}{m^2-n^2} : \frac{4mn}{n^2-m^2} = \frac{4mn}{m^2-n^2} \cdot \frac{n^2-m^2}{4mn} = \frac{4mn}{m^2-n^2} \cdot \frac{-(m^2-n^2)}{4mn} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{4mn}}{\cancel{m^2-n^2}} \cdot \frac{-(\cancel{m^2-n^2})}{\cancel{4mn}} = -1 $

Значение выражения равно -1 и не зависит от переменных $m$ и $n$ (при условии, что $m \neq n$, $m \neq -n$, $m \neq 0$ и $n \neq 0$).

Ответ: -1