Номер 2, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Выберите все верные равенства:

а) $\frac{2a + b}{2c} = \frac{a + b}{c}$;

б) $\frac{(a - b)^2}{b - a} = \frac{-(b - a)^2}{b - a}$;

В) $\frac{1}{b} \cdot a^2 = \frac{a^2}{b}$;

Г) $\frac{5a + 5b}{a + b} = 4a + 4b$;

Д) $\frac{1}{a - b} - \frac{1}{b - a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{a - b}$;

е) $\frac{(2a - 2b)^2}{a - b} = 2a - 2b.$

а) $\frac{2a+b}{2c} = \frac{a+b}{c}$
Данное равенство неверно. Сокращать можно только общие множители для всего числителя и всего знаменателя, а не для отдельных слагаемых. Чтобы проверить, преобразуем левую часть равенства, разделив каждое слагаемое в числителе на знаменатель:
$\frac{2a+b}{2c} = \frac{2a}{2c} + \frac{b}{2c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{2c}$.
Правая часть равна $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$.
Выражения $\frac{a}{c} + \frac{b}{2c}$ и $\frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ не равны друг другу (кроме случая, когда $b=0$). Поскольку равенство должно выполняться для любых допустимых значений переменных, оно не является верным.
Ответ: неверно.

б) $\frac{(a-b)^2}{b-a} = \frac{-(b-a)^2}{b-a}$
Рассмотрим числители дробей. В левой части $(a-b)^2$, в правой $-(b-a)^2$.
Так как $(a-b) = -(b-a)$, то $(a-b)^2 = (-(b-a))^2 = (b-a)^2$.
Следовательно, исходное равенство эквивалентно равенству $\frac{(b-a)^2}{b-a} = \frac{-(b-a)^2}{b-a}$.
При условии, что знаменатель $b-a \neq 0$, мы можем сравнить числители: $(b-a)^2 = -(b-a)^2$.
Выражение $(b-a)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицательно (т.е. $\ge 0$), а выражение $-(b-a)^2$ всегда неположительно (т.е. $\le 0$). Равенство между ними возможно только в том случае, если обе части равны нулю, то есть когда $b-a=0$. Однако это значение недопустимо, так как знаменатель дроби обращается в ноль. Таким образом, данное равенство неверно для всех допустимых значений $a$ и $b$.
Ответ: неверно.

в) $\frac{1}{b} \cdot a^2 = \frac{a^2}{b}$
Это равенство является верным по определению умножения дроби на число (или выражение). Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{1}{b} \cdot a^2 = \frac{1}{b} \cdot \frac{a^2}{1} = \frac{1 \cdot a^2}{b \cdot 1} = \frac{a^2}{b}$.
Левая и правая части тождественно равны.
Ответ: верно.

г) $\frac{5a+5b}{a+b} = 4a+4b$
Преобразуем левую часть равенства. Вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:
$\frac{5a+5b}{a+b} = \frac{5(a+b)}{a+b}$.
При условии, что $a+b \neq 0$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a+b)$, в результате чего левая часть станет равна 5.
Тогда равенство принимает вид $5 = 4a+4b$. Это уравнение, а не тождество, так как оно истинно лишь для определенного набора значений $a$ и $b$ (тех, для которых $a+b=5/4$), а не для всех возможных. Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.

д) $\frac{1}{a-b} - \frac{1}{b-a} = \frac{1}{a-b} + \frac{1}{a-b}$
Преобразуем левую часть равенства. Знаменатели дробей связаны соотношением $b-a = -(a-b)$.
Используем это для преобразования второй дроби:
$\frac{1}{b-a} = \frac{1}{-(a-b)} = -\frac{1}{a-b}$.
Теперь подставим это выражение в левую часть исходного равенства:
$\frac{1}{a-b} - (-\frac{1}{a-b}) = \frac{1}{a-b} + \frac{1}{a-b}$.
Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

е) $\frac{(2a-2b)^2}{a-b} = 2a-2b$
Преобразуем левую часть равенства. Сначала вынесем общий множитель 2 в выражении под знаком квадрата в числителе:
$(2a-2b)^2 = (2(a-b))^2$.
По свойству степени произведения $(xy)^n=x^n y^n$, получаем: $2^2(a-b)^2 = 4(a-b)^2$.
Теперь левая часть выглядит так: $\frac{4(a-b)^2}{a-b}$.
При условии $a-b \neq 0$, сократим дробь на $(a-b)$: $4(a-b) = 4a-4b$.
Сравнивая полученный результат $4a-4b$ с правой частью $2a-2b$, видим, что они не равны (кроме случая $a=b$, который недопустим). Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.