Номер 6, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Выполните сложение или вычитание:

а) $\frac{2c}{c-1} + \frac{1-c}{c-1};$

б) $\frac{2a+1}{a-1} - \frac{2-a}{1-a};$

в) $\frac{2m-1}{(m-1)^2} - \frac{3-2m}{(1-m)^2};$

г) $5x^2 - \frac{15x^2-1}{3};$

д) $\frac{5b}{b^2-1} - \frac{5}{b+1};$

е) $\frac{c^2}{c^2-4c+4} + \frac{c}{2-c};$

ж) $\frac{x+7}{xy-9y+5x-45} - \frac{1}{y+5};$

з) $\frac{d^2}{d^2-5d+4} - \frac{1-d}{4-d};$

а) Для сложения дробей с одинаковыми знаменателями нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним:

$\frac{2c}{c-1} + \frac{1-c}{c-1} = \frac{2c + (1-c)}{c-1} = \frac{2c+1-c}{c-1} = \frac{c+1}{c-1}$

Полученная дробь является неправильной, так как степень числителя (1) равна степени знаменателя (1). Выделим целую часть:

$\frac{c+1}{c-1} = \frac{(c-1)+2}{c-1} = \frac{c-1}{c-1} + \frac{2}{c-1} = 1 + \frac{2}{c-1}$

Ответ: 1$ + \frac{2}{c-1}$

б) Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $1-a = -(a-1)$.

$\frac{2a+1}{a-1} - \frac{2-a}{1-a} = \frac{2a+1}{a-1} - \frac{2-a}{-(a-1)} = \frac{2a+1}{a-1} + \frac{2-a}{a-1}$

Теперь сложим числители:

$\frac{(2a+1) + (2-a)}{a-1} = \frac{2a+1+2-a}{a-1} = \frac{a+3}{a-1}$

Дробь является неправильной. Выделим целую часть:

$\frac{a+3}{a-1} = \frac{(a-1) + 4}{a-1} = \frac{a-1}{a-1} + \frac{4}{a-1} = 1 + \frac{4}{a-1}$

Ответ: 1$ + \frac{4}{a-1}$

в) Преобразуем знаменатель второй дроби. Так как $(1-m)^2 = (-(m-1))^2 = (m-1)^2$, знаменатели дробей одинаковы.

$\frac{2m-1}{(m-1)^2} - \frac{3-2m}{(1-m)^2} = \frac{2m-1}{(m-1)^2} - \frac{3-2m}{(m-1)^2}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(2m-1) - (3-2m)}{(m-1)^2} = \frac{2m-1-3+2m}{(m-1)^2} = \frac{4m-4}{(m-1)^2}$

Разложим числитель на множители и сократим дробь:

$\frac{4(m-1)}{(m-1)^2} = \frac{4}{m-1}$

Ответ: $\frac{4}{m-1}$

г) Приведем выражение к общему знаменателю 3.

$5x^2 - \frac{15x^2-1}{3} = \frac{5x^2 \cdot 3}{3} - \frac{15x^2-1}{3} = \frac{15x^2}{3} - \frac{15x^2-1}{3}$

Выполним вычитание:

$\frac{15x^2 - (15x^2-1)}{3} = \frac{15x^2 - 15x^2 + 1}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

д) Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $b^2-1 = (b-1)(b+1)$.

$\frac{5b}{b^2-1} - \frac{5}{b+1} = \frac{5b}{(b-1)(b+1)} - \frac{5}{b+1}$

Общий знаменатель $(b-1)(b+1)$. Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

$\frac{5b}{(b-1)(b+1)} - \frac{5(b-1)}{(b+1)(b-1)} = \frac{5b - 5(b-1)}{(b-1)(b+1)}$

Упростим числитель:

$\frac{5b - 5b + 5}{(b-1)(b+1)} = \frac{5}{(b-1)(b+1)} = \frac{5}{b^2-1}$

Ответ: $\frac{5}{b^2-1}$

е) Разложим знаменатель первой дроби как полный квадрат: $c^2-4c+4 = (c-2)^2$. Знаменатель второй дроби: $2-c = -(c-2)$.

$\frac{c^2}{c^2-4c+4} + \frac{c}{2-c} = \frac{c^2}{(c-2)^2} + \frac{c}{-(c-2)} = \frac{c^2}{(c-2)^2} - \frac{c}{c-2}$

Приведем к общему знаменателю $(c-2)^2$:

$\frac{c^2}{(c-2)^2} - \frac{c(c-2)}{(c-2)^2} = \frac{c^2 - (c^2-2c)}{(c-2)^2} = \frac{c^2 - c^2 + 2c}{(c-2)^2} = \frac{2c}{(c-2)^2}$

Ответ: $\frac{2c}{(c-2)^2}$

ж) Разложим знаменатель первой дроби на множители методом группировки:

$xy-9y+5x-45 = y(x-9) + 5(x-9) = (x-9)(y+5)$

Выражение принимает вид:

$\frac{x+7}{(x-9)(y+5)} - \frac{1}{y+5}$

Приведем к общему знаменателю $(x-9)(y+5)$:

$\frac{x+7}{(x-9)(y+5)} - \frac{1 \cdot (x-9)}{(y+5)(x-9)} = \frac{(x+7) - (x-9)}{(x-9)(y+5)}$

Упростим числитель:

$\frac{x+7 - x+9}{(x-9)(y+5)} = \frac{16}{(x-9)(y+5)}$

Ответ: $\frac{16}{(x-9)(y+5)}$

з) Разложим знаменатель первой дроби на множители: $d^2-5d+4 = (d-1)(d-4)$. Преобразуем знаменатель второй дроби: $4-d = -(d-4)$.

$\frac{d^2}{d^2-5d+4} - \frac{1-d}{4-d} = \frac{d^2}{(d-1)(d-4)} - \frac{1-d}{-(d-4)} = \frac{d^2}{(d-1)(d-4)} + \frac{1-d}{d-4}$

Приведем к общему знаменателю $(d-1)(d-4)$:

$\frac{d^2}{(d-1)(d-4)} + \frac{(1-d)(d-1)}{(d-4)(d-1)} = \frac{d^2 + (1-d)(d-1)}{(d-1)(d-4)}$

Упростим числитель: $d^2 + (1-d)(d-1) = d^2 - (d-1)(d-1) = d^2 - (d-1)^2$. Применим формулу разности квадратов:

$d^2 - (d-1)^2 = (d-(d-1))(d+(d-1)) = (d-d+1)(d+d-1) = 1 \cdot (2d-1) = 2d-1$

Итоговая дробь:

$\frac{2d-1}{(d-1)(d-4)} = \frac{2d-1}{d^2-5d+4}$

Ответ: $\frac{2d-1}{d^2-5d+4}$