Исследовательское задание, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

Исследовательское задание.

Верно ли, что $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$? Представьте в виде дроби выражение

$\frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} + \frac{1}{(a+3)(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+5)}$

Обобщите результат и придумайте аналогичное задание для друзей.

Верно ли, что $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$?
Для проверки данного утверждения выполним вычитание дробей в левой части равенства. Общим знаменателем для дробей $\frac{1}{x+1}$ и $\frac{1}{x+2}$ является выражение $(x+1)(x+2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} = \frac{1 \cdot (x+2)}{(x+1)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x+1)}{(x+1)(x+2)} $$ Выполним вычитание числителей над общим знаменателем: $$ \frac{(x+2) - (x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2-x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{(x+1)(x+2)} $$ Левая часть равенства оказалась тождественно равна правой.
Ответ: Да, равенство верно.

Представьте в виде дроби выражение $\frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+3)} + \frac{1}{(a+3)(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+5)}$
Используя тождество, доказанное в первом пункте, мы можем представить каждое слагаемое в виде разности двух дробей. Такой прием позволяет значительно упростить сумму, так как большинство слагаемых взаимно уничтожатся (такой прием лежит в основе метода телескопических сумм).

$\frac{1}{(a+1)(a+2)} = \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}$
$\frac{1}{(a+2)(a+3)} = \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}$
$\frac{1}{(a+3)(a+4)} = \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+4}$
$\frac{1}{(a+4)(a+5)} = \frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+5}$

Теперь сложим все выражения: $$ \left(\frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}\right) + \left(\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}\right) + \left(\frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+4}\right) + \left(\frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+5}\right) $$ Промежуточные слагаемые, такие как $- \frac{1}{a+2}$ и $+ \frac{1}{a+2}$, взаимно уничтожаются. Остаются только первое и последнее слагаемые: $$ \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+5} $$ Приведем их к общему знаменателю и найдем разность: $$ \frac{1 \cdot (a+5)}{(a+1)(a+5)} - \frac{1 \cdot (a+1)}{(a+1)(a+5)} = \frac{(a+5)-(a+1)}{(a+1)(a+5)} = \frac{a+5-a-1}{(a+1)(a+5)} = \frac{4}{(a+1)(a+5)} $$ Ответ: $\frac{4}{(a+1)(a+5)}$

Обобщите результат и придумайте аналогичное задание для друзей.
Обобщение:
Замеченная закономерность является частным случаем телескопической суммы. Для суммы из $n$ слагаемых вида $\frac{1}{(a+k)(a+k+1)}$, где $k$ изменяется от 1 до $n$, мы получим: $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(a+k)(a+k+1)} = \left(\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a+n}-\frac{1}{a+n+1}\right) $$ После сокращения промежуточных членов остается: $$ \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+n+1} $$ Что в виде одной дроби равно: $$ \frac{(a+n+1) - (a+1)}{(a+1)(a+n+1)} = \frac{n}{(a+1)(a+n+1)} $$ В более общем случае, для дроби вида $\frac{1}{x(x+d)}$ справедливо разложение: $$ \frac{1}{x(x+d)} = \frac{1}{d}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+d}\right) $$ Это позволяет вычислять суммы дробей, где знаменатели представляют собой произведения двух сомножителей с постоянной разницей $d$.

Аналогичное задание для друзей:
Упростите выражение: $$ \frac{1}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+6)} $$ Решение:
Здесь разница между множителями в знаменателе $d=2$. Используем обобщенное разложение $\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$. $$ \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}\right) + \left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4}\right) + \left(\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x+6}\right)\right] $$ $$ = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{x} - \frac{1}{x+6}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{(x+6)-x}{x(x+6)}\right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{x(x+6)} = \frac{3}{x(x+6)} $$ Ответ: Результат обобщен в виде общей формулы для телескопических сумм, и на основе этого принципа составлено новое, аналогичное задание с решением.