Номер 2, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Трехзначное число разложили на целые множители. После этого некоторые множители увеличили не более чем на 10 %, так, чтобы снова получилось целое число. На какое наибольшее число процентов могло увеличиться произведение?

Пусть исходное трехзначное число равно $N$, а новое число, полученное после увеличения множителей, равно $N'$. Нам нужно найти максимальное значение величины процентного увеличения, которая вычисляется по формуле: $$ P = \frac{N' - N}{N} \times 100\% = \left(\frac{N'}{N} - 1\right) \times 100\% $$ Максимизация $P$ эквивалентна максимизации отношения $\frac{N'}{N}$.

Пусть число $N$ разложено на целые множители: $N = f_1 \cdot f_2 \cdot \dots \cdot f_k$. Каждый множитель $f_i$ увеличивается не более чем на 10%, и в результате снова получается целое число. Обозначим новый множитель как $f_i'$. Тогда: $$ f_i < f_i' \le f_i \cdot (1 + 0.1) = 1.1 \cdot f_i $$ Чтобы максимизировать итоговое произведение $N'$, нужно максимизировать каждый новый множитель $f_i'$. Поскольку $f_i'$ должен быть целым, его максимальное значение равно $f_i' = \lfloor 1.1 \cdot f_i \rfloor$.

Увеличение множителя $f_i$ возможно только в том случае, если $\lfloor 1.1 \cdot f_i \rfloor > f_i$. Это условие эквивалентно $1.1 \cdot f_i \ge f_i + 1$, что дает $0.1 \cdot f_i \ge 1$, или $f_i \ge 10$. Таким образом, увеличивать можно только множители, которые не меньше 10.

Отношение нового произведения к старому равно: $$ \frac{N'}{N} = \frac{f_1' \cdot f_2' \cdot \dots \cdot f_k'}{f_1 \cdot f_2 \cdot \dots \cdot f_k} = \frac{f_1'}{f_1} \cdot \frac{f_2'}{f_2} \cdot \dots \cdot \frac{f_k'}{f_k} $$ Для каждого множителя $f_i \ge 10$, отношение $\frac{f_i'}{f_i} = \frac{\lfloor 1.1 \cdot f_i \rfloor}{f_i}$. Для множителей $f_i < 10$, увеличение невозможно, поэтому $f_i' = f_i$ и отношение равно 1.

Рассмотрим отношение для одного множителя $f \ge 10$: $$ \frac{\lfloor 1.1 \cdot f \rfloor}{f} $$ Поскольку $\lfloor x \rfloor \le x$, то $\lfloor 1.1 \cdot f \rfloor \le 1.1 \cdot f$. Следовательно, $\frac{\lfloor 1.1 \cdot f \rfloor}{f} \le 1.1$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $1.1 \cdot f$ является целым числом. $$ 1.1 \cdot f = \frac{11}{10} \cdot f = k \text{ (целое число)} $$ Так как 11 и 10 взаимно просты, $f$ должен быть кратен 10. Таким образом, максимальное отношение, равное 1.1, достигается для множителей, кратных 10 (например, 10, 20, 30, ...). Для всех остальных множителей $f \ge 10$ это отношение будет строго меньше 1.1.

Чтобы максимизировать общее отношение $\frac{N'}{N}$, нужно, чтобы в разложении числа $N$ было как можно больше множителей, кратных 10.

• Если в разложении есть только один такой множитель, максимальное увеличение составит 10%.
• Если в разложении есть два множителя, кратных 10, скажем $f_1$ и $f_2$, то максимальное отношение будет $1.1 \cdot 1.1 = 1.21$. Это соответствует увеличению на 21%. Такое разложение возможно для трехзначного числа. Например, возьмем число $N=600$. Его можно разложить на множители $f_1 = 20$ и $f_2 = 30$. Оба множителя кратны 10.
  Увеличиваем множители: $$ f_1' = \lfloor 1.1 \cdot 20 \rfloor = \lfloor 22 \rfloor = 22 $$ $$ f_2' = \lfloor 1.1 \cdot 30 \rfloor = \lfloor 33 \rfloor = 33 $$ Новое произведение: $N' = 22 \cdot 33 = 726$. Процентное увеличение: $\left(\frac{726}{600} - 1\right) \times 100\% = (1.21 - 1) \times 100\% = 21\%$.
• Если в разложении есть три множителя, кратных 10, то наименьшее такое число будет $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$, что не является трехзначным числом. Следовательно, в разложении трехзначного числа не может быть более двух множителей, которые можно увеличить с максимальным коэффициентом 1.1.

Таким образом, максимальное отношение $\frac{N'}{N}$ равно 1.21, что соответствует увеличению на 21%. Это достигается, когда трехзначное число можно разложить на множители так, что как минимум два из них кратны 10. Например, для числа $N=900$, которое можно разложить как $10 \cdot 10 \cdot 9$. Множители 10 и 10 увеличиваются до 11, а 9 не изменяется. Новое произведение $N' = 11 \cdot 11 \cdot 9 = 1089$. Процентное увеличение: $(\frac{1089}{900} - 1) \times 100\% = (1.21 - 1) \times 100\% = 21\%$.

Ответ: 21%