Номер 10, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Постройте график функции:

a) $f(x) = \frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} - \frac{2x^2 + 3x}{x};$

б) $f(x) = \frac{x^3 - 5x^2 + 4x}{x - 1};$

в) $f(x) = \frac{12x + 12}{x^2 + x}.$

а) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} - \frac{2x^2 + 3x}{x}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:
$x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$
$x \neq 0$
Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции.
Первая дробь: числитель $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом $(x - 5)^2$.
$\frac{x^2 - 10x + 25}{x - 5} = \frac{(x-5)^2}{x-5} = x-5$.
Вторая дробь: вынесем $x$ за скобки в числителе.
$\frac{2x^2 + 3x}{x} = \frac{x(2x+3)}{x} = 2x+3$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$f(x) = (x-5) - (2x+3) = x - 5 - 2x - 3 = -x - 8$.

3. Построение графика.
После упрощения мы получили линейную функцию $y = -x - 8$. Ее график — это прямая.
Однако, из-за ОДЗ, на этой прямой должны быть две "выколотые" точки, соответствующие значениям $x=0$ и $x=5$.
Найдем координаты этих точек:
Если $x=0$, то $y = -0 - 8 = -8$. Координаты первой выколотой точки: (0; -8).
Если $x=5$, то $y = -5 - 8 = -13$. Координаты второй выколотой точки: (5; -13).
Для построения прямой найдем две точки, через которые она проходит, например:
При $x=-2$, $y = -(-2) - 8 = -6$.
При $x=-8$, $y = -(-8) - 8 = 0$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x - 8$ с выколотыми точками (0; -8) и (5; -13).

б) Дана функция $f(x) = \frac{x^3 - 5x^2 + 4x}{x - 1}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Область определения: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упростим выражение. Разложим числитель на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки:
$x^3 - 5x^2 + 4x = x(x^2 - 5x + 4)$.
Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 4$. Его корни можно найти по теореме Виета: $x_1+x_2=5$, $x_1 \cdot x_2=4$. Корни равны 1 и 4.
Следовательно, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.
Подставим разложение в исходную функцию и сократим:
$f(x) = \frac{x(x - 1)(x - 4)}{x - 1} = x(x - 4) = x^2 - 4x$.

3. Построение графика.
Мы получили квадратичную функцию $y = x^2 - 4x$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).
Из ОДЗ следует, что точка с абсциссой $x=1$ должна быть исключена из графика.
Найдем ординату этой выколотой точки:
При $x=1$, $y = 1^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3$. Координаты выколотой точки: (1; -3).
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{вершины} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_{вершины} = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Вершина находится в точке (2; -4).
Парабола пересекает ось OX в точках, где $y=0$: $x(x-4)=0 \Rightarrow x=0, x=4$. Точки пересечения (0;0) и (4;0).

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 - 4x$ с выколотой точкой (1; -3).

в) Дана функция $f(x) = \frac{12x + 12}{x^2 + x}$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 + x \neq 0 \Rightarrow x(x + 1) \neq 0$.
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -1$.
Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители:
$f(x) = \frac{12(x + 1)}{x(x + 1)}$.
При $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(x+1)$:
$f(x) = \frac{12}{x}$.

3. Построение графика.
Мы получили функцию $y = \frac{12}{x}$. Ее график — гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: $x=0$ и $y=0$.
Из ОДЗ следует, что точка с абсциссой $x=-1$ должна быть исключена (точка $x=0$ уже не принадлежит графику гиперболы, так как является ее вертикальной асимптотой).
Найдем координаты выколотой точки:
При $x=-1$, $y = \frac{12}{-1} = -12$. Координаты выколотой точки: (-1; -12).
Для построения графика найдем несколько точек: (2, 6), (3, 4), (4, 3), (-2, -6), (-3, -4), (-4, -3).

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{12}{x}$ с выколотой точкой (-1; -12).