Номер 4, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Приведите дробь $\frac{a}{x-3}$ к знаменателю:

а) $3-x$;

б) $x^2-3x$;

в) $x^2-9$;

г) $x^2-6x+9$.

а) 3 – x;
Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо найти дополнительный множитель, на который нужно умножить и числитель, и знаменатель исходной дроби. Для этого разделим новый знаменатель ($3-x$) на исходный ($x-3$): $$ \frac{3-x}{x-3} = \frac{-(x-3)}{x-3} = -1 $$ Дополнительный множитель равен $-1$. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель: $$ \frac{a}{x-3} = \frac{a \cdot (-1)}{(x-3) \cdot (-1)} = \frac{-a}{3-x} $$ Ответ: $\frac{-a}{3-x}$

б) x² – 3x;
Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель ($x^2-3x$) на исходный ($x-3$). Для этого предварительно разложим новый знаменатель на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $$ x^2-3x = x(x-3) $$ Теперь найдем дополнительный множитель: $$ \frac{x(x-3)}{x-3} = x $$ Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $x$: $$ \frac{a}{x-3} = \frac{a \cdot x}{(x-3) \cdot x} = \frac{ax}{x^2-3x} $$ Ответ: $\frac{ax}{x^2-3x}$

в) x² – 9;
Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель ($x^2-9$) на исходный ($x-3$). Разложим новый знаменатель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $$ x^2-9 = (x-3)(x+3) $$ Теперь найдем дополнительный множитель: $$ \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 $$ Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $(x+3)$: $$ \frac{a}{x-3} = \frac{a \cdot (x+3)}{(x-3) \cdot (x+3)} = \frac{a(x+3)}{x^2-9} = \frac{ax+3a}{x^2-9} $$ Ответ: $\frac{ax+3a}{x^2-9}$

г) x² – 6x + 9.
Найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель ($x^2-6x+9$) на исходный ($x-3$). Разложим новый знаменатель на множители по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: $$ x^2-6x+9 = (x-3)^2 $$ Теперь найдем дополнительный множитель: $$ \frac{(x-3)^2}{x-3} = x-3 $$ Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $(x-3)$: $$ \frac{a}{x-3} = \frac{a \cdot (x-3)}{(x-3) \cdot (x-3)} = \frac{a(x-3)}{(x-3)^2} = \frac{ax-3a}{x^2-6x+9} $$ Ответ: $\frac{ax-3a}{x^2-6x+9}$