Номер 1.263, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.263. Найдите, при каких значениях переменной имеет

смысл выражение:

a) $\sqrt{5-x};$

б) $\sqrt{x^2-x-2}.$

Для того чтобы выражение, содержащее квадратный корень, имело смысл в области действительных чисел, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным (больше или равно нулю).

а) Для выражения $\sqrt{5-x}$ необходимо выполнить условие:
$5 - x \ge 0$
Перенесем $x$ в правую часть неравенства, меняя знак:
$5 \ge x$
Это эквивалентно записи:
$x \le 5$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, которые не превышают 5.
Ответ: $x \in (-\infty, 5]$.

б) Для выражения $\sqrt{x^2 - x - 2}$ необходимо выполнить условие:
$x^2 - x - 2 \ge 0$
Это квадратное неравенство. Чтобы его решить, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции будут неотрицательными на промежутках вне корней, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \le -1$ или $x \ge 2$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.