Номер 3, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3. Сократите дробь $\frac{x^3 + 2x^2 - 16x - 32}{(x-1)^5 + (1-x)^5 + (x-1)^2 - 9}$

Для сокращения дроби необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель: $x^3 + 2x^2 - 16x - 32$.
Сгруппируем слагаемые:

$ (x^3 + 2x^2) - (16x + 32) = x^2(x+2) - 16(x+2) $

Вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:

$ (x^2 - 16)(x+2) $

Применим к выражению $(x^2 - 16)$ формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ (x-4)(x+4)(x+2) $

Итак, числитель равен $(x-4)(x+4)(x+2)$.

2. Упростим и разложим на множители знаменатель: $(x-1)^5 + (1-x)^5 + (x-1)^2 - 9$.
Заметим, что $(1-x) = -(x-1)$. Поскольку степень 5 является нечетной, то $(1-x)^5 = (-(x-1))^5 = -(x-1)^5$.
Тогда первые два слагаемых в знаменателе взаимно уничтожаются:

$ (x-1)^5 + (1-x)^5 = (x-1)^5 - (x-1)^5 = 0 $

Таким образом, знаменатель упрощается до выражения:

$ (x-1)^2 - 9 $

Применим формулу разности квадратов:

$ (x-1)^2 - 3^2 = ((x-1)-3)((x-1)+3) = (x-4)(x+2) $

Итак, знаменатель равен $(x-4)(x+2)$.

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:

$ \frac{x^3 + 2x^2 - 16x - 32}{(x-1)^5 + (1-x)^5 + (x-1)^2 - 9} = \frac{(x-4)(x+4)(x+2)}{(x-4)(x+2)} $

Сокращаем общие множители $(x-4)$ и $(x+2)$ (при условии, что $x \neq 4$ и $x \neq -2$):

$ \frac{\cancel{(x-4)}(x+4)\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x-4)}\cancel{(x+2)}} = x+4 $

Ответ: x+4