Номер 3.172, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.172. Решите неравенство, используя алгоритм решения неравенств методом интервалов:

a) $ \frac{(x-5)^2}{x-3} \le 0; $

б) $ \frac{x-7}{(x-12)^2} \ge 0; $

в) $ \frac{6-x}{(x-5)(x-2)^4} < 0; $

г) $ \frac{(x+5)^6}{(1-4x)(x+4)} \ge 0. $

а) Решим неравенство $\frac{(x-5)^2}{x-3} \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
   $x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$.
2. Найдем нули функции, то есть точки, в которых числитель равен нулю:
   $(x-5)^2 = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$.
3. Отметим на числовой оси точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это точки $x=3$ и $x=5$. Точку $x=3$ (корень знаменателя) изображаем выколотой (пустой кружок), так как на ноль делить нельзя. Точку $x=5$ (корень числителя) изображаем закрашенной (сплошной кружок), так как неравенство нестрогое ($\le$) и допускает равенство нулю.
4. Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, 3)$, $(3, 5)$ и $(5, \infty)$.
   Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=10$:
   $\frac{(10-5)^2}{10-3} = \frac{25}{7} > 0$. Ставим знак "+".
   При переходе через корень $x=5$ (множитель $(x-5)^2$ в четной степени), знак не меняется. Значит, на интервале $(3, 5)$ знак тоже "+".
   При переходе через корень $x=3$ (множитель $(x-3)^1$ в нечетной степени), знак меняется на противоположный. Значит, на интервале $(-\infty, 3)$ знак "-".
   Получаем следующую расстановку знаков: $(-\infty, 3) \rightarrow (-)$; $(3, 5) \rightarrow (+)$; $(5, \infty) \rightarrow (+)$.
5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это соответствует интервалу со знаком "минус" и точкам, где выражение равно нулю.
   Выражение отрицательно на интервале $(-\infty, 3)$.
   Выражение равно нулю в точке $x=5$.

Объединяя полученные результаты, получаем решение неравенства.

б) Решим неравенство $\frac{x-7}{(x-12)^2} \ge 0$ методом интервалов.

1. ОДЗ: знаменатель не равен нулю.
   $(x-12)^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 12$.
2. Нули числителя:
   $x-7 = 0 \Rightarrow x = 7$.
3. Отметим на числовой оси точки $x=7$ и $x=12$. Точка $x=12$ выколота, а точка $x=7$ закрашена (неравенство нестрогое $\ge$).
4. Определим знаки на интервалах $(-\infty, 7)$, $(7, 12)$ и $(12, \infty)$.
   Пробная точка $x=20$: $\frac{20-7}{(20-12)^2} = \frac{13}{64} > 0$. На $(12, \infty)$ знак "+".
   При переходе через $x=12$ (корень четной кратности 2), знак не меняется. На $(7, 12)$ знак "+".
   При переходе через $x=7$ (корень нечетной кратности 1), знак меняется. На $(-\infty, 7)$ знак "-".
   Расстановка знаков: $(-\infty, 7) \rightarrow (-)$; $(7, 12) \rightarrow (+)$; $(12, \infty) \rightarrow (+)$.
5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это интервалы со знаком "плюс" и точки, где выражение равно нулю.
   Выражение положительно на интервалах $(7, 12)$ и $(12, \infty)$.
   Выражение равно нулю в точке $x=7$.

Объединяя, получаем $x \in [7, 12) \cup (12, \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{6-x}{(x-5)(x-2)^4} < 0$.

1. Для удобства приведем неравенство к стандартному виду, где коэффициенты при $x$ положительны. Вынесем "-1" из числителя: $\frac{-(x-6)}{(x-5)(x-2)^4} < 0$.
   Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{x-6}{(x-5)(x-2)^4} > 0$.
2. ОДЗ: $(x-5)(x-2)^4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5$ и $x \ne 2$.
3. Нули числителя: $x-6 = 0 \Rightarrow x=6$.
4. Отметим на числовой оси точки $x=2, x=5, x=6$. Все точки выколоты, так как неравенство строгое ($>$).
5. Определим знаки на интервалах $(-\infty, 2)$, $(2, 5)$, $(5, 6)$ и $(6, \infty)$.
   Пробная точка $x=10$: $\frac{10-6}{(10-5)(10-2)^4} > 0$. На $(6, \infty)$ знак "+".
   При переходе через $x=6$ (кратность 1), знак меняется. На $(5, 6)$ знак "-".
   При переходе через $x=5$ (кратность 1), знак меняется. На $(2, 5)$ знак "+".
   При переходе через $x=2$ (кратность 4, четная), знак не меняется. На $(-\infty, 2)$ знак "+".
   Расстановка знаков: $(-\infty, 2) \rightarrow (+)$; $(2, 5) \rightarrow (+)$; $(5, 6) \rightarrow (-)$; $(6, \infty) \rightarrow (+)$.
6. Нам нужны значения $x$, при которых выражение строго больше нуля ($> 0$). Это интервалы со знаком "плюс".
   Это интервалы $(-\infty, 2)$, $(2, 5)$ и $(6, \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{(x+5)^6}{(1-4x)(x+4)} \ge 0$.

1. Приведем множитель $(1-4x)$ к стандартному виду: $1-4x = -4(x-\frac{1}{4})$.
   Неравенство примет вид: $\frac{(x+5)^6}{-4(x-\frac{1}{4})(x+4)} \ge 0$.
   Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства: $\frac{(x+5)^6}{(x-\frac{1}{4})(x+4)} \le 0$.
2. ОДЗ: $(x-\frac{1}{4})(x+4) \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{4}$ и $x \ne -4$.
3. Нули числителя: $(x+5)^6=0 \Rightarrow x=-5$.
4. Отметим на числовой оси точки $x=-5, x=-4, x=\frac{1}{4}$.
   Точки $x=-4$ и $x=\frac{1}{4}$ выколоты (корни знаменателя).
   Точка $x=-5$ закрашена (корень числителя, неравенство нестрогое).
5. Определим знаки на интервалах $(-\infty, -5)$, $(-5, -4)$, $(-4, \frac{1}{4})$ и $(\frac{1}{4}, \infty)$.
   Пробная точка $x=1$: $\frac{(1+5)^6}{(1-\frac{1}{4})(1+4)} > 0$. На $(\frac{1}{4}, \infty)$ знак "+".
   При переходе через $x=\frac{1}{4}$ (кратность 1), знак меняется. На $(-4, \frac{1}{4})$ знак "-".
   При переходе через $x=-4$ (кратность 1), знак меняется. На $(-5, -4)$ знак "+".
   При переходе через $x=-5$ (кратность 6, четная), знак не меняется. На $(-\infty, -5)$ знак "+".
   Расстановка знаков: $(-\infty, -5) \rightarrow (+)$; $(-5, -4) \rightarrow (+)$; $(-4, \frac{1}{4}) \rightarrow (-)$; $(\frac{1}{4}, \infty) \rightarrow (+)$.
6. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервал со знаком "минус" и точка, где выражение равно нулю.
   Интервал: $(-4, \frac{1}{4})$.
   Равенство нулю: $x=-5$.

Объединяем результаты.