Номер 262, страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

262. Решите квадратное неравенство:

a) $4x - x^2 > 0;$

б) $6x^2 \ge -x;$

в) $9x^2 < 25;$

г) $x^2 - 14x + 49 > 0;$

д) $9x^2 - 30x + 25 < 0;$

е) $36x^2 + 12x + 1 \ge 0;$

ж) $x^2 \le x - \frac{1}{4};$

з) $x^2 - 10x + 12 < 0;$

и) $0.5x^2 + 2x - 2.5 \le 0.$

а) Решим неравенство $4x - x^2 > 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 4x < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x = 0$, разложив левую часть на множители:

$x(x - 4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Неравенство $x^2 - 4x < 0$ выполняется на интервале, где парабола находится ниже оси абсцисс, то есть между корнями.

Ответ: $x \in (0, 4)$.

б) Решим неравенство $6x^2 \ge -x$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$6x^2 + x \ge 0$

Найдем корни уравнения $6x^2 + x = 0$:

$x(6x + 1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{1}{6}$.

Графиком функции $y = 6x^2 + x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется там, где парабола находится на оси абсцисс или выше нее, то есть левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{6}] \cup [0, \infty)$.

в) Решим неравенство $9x^2 < 25$.

Перенесем 25 в левую часть:

$9x^2 - 25 < 0$

Найдем корни уравнения $9x^2 - 25 = 0$, используя формулу разности квадратов:

$(3x - 5)(3x + 5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5}{3}$, $x_2 = -\frac{5}{3}$.

Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $< 0$ выполняется между корнями. Выделим целую часть из дробей: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ и $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-1\frac{2}{3}, 1\frac{2}{3})$.

г) Решим неравенство $x^2 - 14x + 49 > 0$.

Левая часть является полным квадратом разности:

$(x - 7)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Он равен нулю только тогда, когда выражение в скобках равно нулю. В данном случае, $(x-7)^2 = 0$ при $x=7$. Во всех остальных случаях $(x-7)^2 > 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 7) \cup (7, \infty)$.

д) Решим неравенство $9x^2 - 30x + 25 < 0$.

Левая часть является полным квадратом разности:

$(3x - 5)^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

е) Решим неравенство $36x^2 + 12x + 1 \ge 0$.

Левая часть является полным квадратом суммы:

$(6x + 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

ж) Решим неравенство $x^2 \le x - \frac{1}{4}$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - x + \frac{1}{4} \le 0$

Левая часть является полным квадратом разности:

$(x - \frac{1}{2})^2 \le 0$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Единственный случай, когда это неравенство выполняется, — это равенство нулю: $(x - \frac{1}{2})^2 = 0$, что происходит при $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

з) Решим неравенство $x^2 - 10x + 12 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 12 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 100 - 48 = 52$

$\sqrt{D} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 5 \pm \sqrt{13}$

Корни: $x_1 = 5 - \sqrt{13}$, $x_2 = 5 + \sqrt{13}$.

Парабола $y=x^2 - 10x + 12$ имеет ветви вверх, значит, неравенство $< 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $x \in (5 - \sqrt{13}, 5 + \sqrt{13})$.

и) Решим неравенство $0,5x^2 + 2x - 2,5 \le 0$.

Умножим неравенство на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$x^2 + 4x - 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение -5. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.

Парабола $y=x^2 + 4x - 5$ имеет ветви вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-5, 1]$.