Номер 265, страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

265. Решите двойное неравенство $6 - x < x^2 \le 16$.

Данное двойное неравенство $6 - x < x^2 \le 16$ равносильно системе из двух неравенств:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1) Решение неравенства $x^2 > 6 - x$

Приведем неравенство к стандартному виду:

$x^2 + x - 6 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6$, решив уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Отсюда находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $x^2 + x - 6 > 0$ выполняется при значениях $x$ за пределами корней.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$.

2) Решение неравенства $x^2 \le 16$

Перенесем 16 в левую часть:

$x^2 - 16 \le 0$

Разложим на множители левую часть как разность квадратов:

$(x - 4)(x + 4) \le 0$

Корни левой части: $x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 16$ направлены вверх, поэтому неравенство $(x - 4)(x + 4) \le 0$ выполняется между корнями, включая их.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [-4, 4]$.

3) Нахождение решения системы

Найдем пересечение полученных решений:

$x \in \left( (-\infty, -3) \cup (2, +\infty) \right) \cap [-4, 4]$

Для наглядности можно использовать числовую ось. Пересечение состоит из двух промежутков:

• $[-4, 4] \cap (-\infty, -3) = [-4, -3)$
• $[-4, 4] \cap (2, +\infty) = (2, 4]$

Объединяя эти промежутки, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (2, 4]$.