Номер 264, страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

264. Найдите область определения функции

$y = \sqrt{5 - x} - \frac{5}{\sqrt{10 - x^2 + 3x}}$

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Для данной функции $y = \sqrt{5 - x} - \frac{5}{\sqrt{10 - x^2 + 3x}}$ должны одновременно выполняться два условия, из которых составляется система неравенств:

$ \begin{cases} 5 - x \ge 0 \\ 10 - x^2 + 3x > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Подкоренное выражение первого слагаемого ($\sqrt{5-x}$) должно быть неотрицательным.

$5 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства:

$5 \ge x$, что равносильно $x \le 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5]$.

Подкоренное выражение в знаменателе ($\sqrt{10 - x^2 + 3x}$) должно быть строго положительным, так как корень не может быть извлечен из отрицательного числа, а знаменатель дроби не может быть равен нулю.

$10 - x^2 + 3x > 0$

Умножим неравенство на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и поменяем знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 3x - 10 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

Так как графиком функции $y = x^2 - 3x - 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх, то неравенство $x^2 - 3x - 10 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-2; 5)$.

Итоговая область определения является пересечением решений, полученных для каждого условия:

$\begin{cases} x \le 5 \\ -2 < x < 5 \end{cases}$

Пересечением множеств $(-\infty; 5]$ и $(-2; 5)$ является интервал $(-2; 5)$.

Ответ: $x \in (-2; 5)$.