Номер 266, страница 294 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

266. Решите совокупность неравенств:

a) $\begin{cases}x^2 - 4x + 3 < 0, \\x \ge 3;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x^2 - 6x > 0, \\x \le 5.\end{cases}$

a) Решим совокупность неравенств:$$ \left[ \begin{aligned} &x^2 - 4x + 3 < 0, \\ &x \ge 3; \end{aligned} \right. $$Решение совокупности — это объединение решений каждого из неравенств.
1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 < 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Так как это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $x^2 - 4x + 3 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (1, 3)$.

2. Решение второго неравенства $x \ge 3$ представляет собой промежуток $x \in [3, +\infty)$.

3. Найдем объединение решений: $(1, 3) \cup [3, +\infty)$.
Объединяя интервал от 1 до 3 (не включая 3) с промежутком от 3 (включая 3) до плюс бесконечности, мы получаем все числа, строго большие 1.
Таким образом, итоговый промежуток: $(1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

б) Решим совокупность неравенств:$$ \left[ \begin{aligned} &x^2 - 6x > 0, \\ &x \le 5; \end{aligned} \right. $$Решение совокупности — это объединение решений каждого из неравенств.
1. Решим первое неравенство: $x^2 - 6x > 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x - 6) > 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x - 6) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.
Так как это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство $x^2 - 6x > 0$ выполняется на интервалах вне корней.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (6, +\infty)$.

2. Решение второго неравенства $x \le 5$ представляет собой промежуток $x \in (-\infty, 5]$.

3. Найдем объединение решений: $((-\infty, 0) \cup (6, +\infty)) \cup (-\infty, 5]$.
Объединение множества $(-\infty, 0)$ и множества $(-\infty, 5]$ дает большее из них, то есть $(-\infty, 5]$.
Таким образом, итоговое решение представляет собой объединение двух непересекающихся промежутков: $(-\infty, 5]$ и $(6, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 5] \cup (6, +\infty)$.