Номер 275, страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

275. Найдите наибольшее целое решение неравенства

$\frac{x}{4} + \frac{2x-1}{9} \le \frac{x-9}{6} + 2.$

Чтобы найти наибольшее целое решение неравенства, выполним следующие шаги.

Исходное неравенство:

$\frac{x}{4} + \frac{2x-1}{9} \le \frac{x-9}{6} + 2$

1. Приведение к общему знаменателю.
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 4, 9 и 6. НОК(4, 9, 6) = 36. Умножим обе части неравенства на 36, чтобы избавиться от дробей. Знак неравенства при этом не изменится, так как 36 — положительное число.

$36 \cdot \left(\frac{x}{4} + \frac{2x-1}{9}\right) \le 36 \cdot \left(\frac{x-9}{6} + 2\right)$

2. Упрощение выражения.
Выполним умножение и сократим дроби:

$\frac{36x}{4} + \frac{36(2x-1)}{9} \le \frac{36(x-9)}{6} + 36 \cdot 2$

$9x + 4(2x-1) \le 6(x-9) + 72$

3. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$9x + 8x - 4 \le 6x - 54 + 72$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$17x - 4 \le 6x + 18$

4. Решение линейного неравенства.
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$17x - 6x \le 18 + 4$

$11x \le 22$

Разделим обе части на 11:

$x \le \frac{22}{11}$

$x \le 2$

5. Определение наибольшего целого решения.
Решением неравенства является множество всех чисел, которые меньше или равны 2, то есть промежуток $(-\infty; 2]$. Наибольшее целое число, входящее в этот промежуток, — это 2.

Ответ: 2