Номер 281, страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

281. Решите совокупность неравенств:

a) $\begin{cases} 7 - 9x \le 5 - 8x, \\ 7 - 3x \le 6 - 4x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{5} \le x + 8, \\ 5x + 7 < 7. \end{cases}$

а) Решим совокупность неравенств $\begin{bmatrix} 7 - 9x \le 5 - 8x, \\ 7 - 3x \le 6 - 4x. \end{bmatrix}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $7 - 9x \le 5 - 8x$

Переносим слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$7 - 5 \le 9x - 8x$

$2 \le x$

Решение первого неравенства: $x \in [2, +\infty)$.

2) $7 - 3x \le 6 - 4x$

Переносим слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$4x - 3x \le 6 - 7$

$x \le -1$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1]$.

Решением совокупности является объединение решений каждого из неравенств.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$.

б) Решим совокупность неравенств $\begin{bmatrix} \frac{x}{5} \le x + 8, \\ 5x + 7 < 7. \end{bmatrix}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $\frac{x}{5} \le x + 8$

Умножим обе части неравенства на 5 (знак неравенства не меняется):

$x \le 5(x + 8)$

$x \le 5x + 40$

$x - 5x \le 40$

$-4x \le 40$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge -10$

Решение первого неравенства: $x \in [-10, +\infty)$.

2) $5x + 7 < 7$

Вычтем 7 из обеих частей:

$5x < 0$

Разделим обе части на 5:

$x < 0$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0)$.

Решением совокупности является объединение решений: $[-10, +\infty) \cup (-\infty, 0)$. Так как любое действительное число удовлетворяет либо условию $x \ge -10$, либо условию $x < 0$, объединение этих двух промежутков покрывает всю числовую прямую.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.