Номер 3, страница 91 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

3. По гладкой горизонтальной поверхности по окружности радиусом $R = 30$ см движется шарик массой $m = 200$ г, удерживаемый нитью (рис. 135). Период обращения шарика $T = 3,14$ с. Определите удлинение нити, если ее жесткость $k = 60 \frac{Н}{М}$.

Рис. 135

Дано:

$R = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$
$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$T = 3.14 \text{ с}$
$k = 60 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Найти:

$\Delta x$ — удлинение нити.

Решение:

Когда шарик движется по окружности на гладкой горизонтальной поверхности, единственной силой, действующей в горизонтальном направлении к центру окружности, является сила упругости (натяжения) нити $F_{упр}$. Эта сила и сообщает шарику необходимое центростремительное ускорение.

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила $F_ц$, необходимая для движения по окружности, равна:

$F_ц = m \cdot a_ц$

где $m$ — масса шарика, а $a_ц$ — центростремительное ускорение. Центростремительное ускорение можно выразить через угловую скорость $\omega$ и радиус $R$:

$a_ц = \omega^2 R$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставив выражения для $a_ц$ и $\omega$ в формулу для центростремительной силы, получим:

$F_ц = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 m R}{T^2}$

Сила упругости нити подчиняется закону Гука:

$F_{упр} = k \cdot \Delta x$

где $k$ — жесткость нити, а $\Delta x$ — ее удлинение.

Поскольку сила упругости является центростремительной силой ($F_{упр} = F_ц$), мы можем приравнять их выражения:

$k \cdot \Delta x = \frac{4\pi^2 m R}{T^2}$

Из этого уравнения выразим искомое удлинение нити $\Delta x$:

$\Delta x = \frac{4\pi^2 m R}{k T^2}$

Подставим в формулу числовые значения из условия задачи. Обратим внимание, что период обращения $T = 3.14 \text{ с}$ численно равен числу $\pi \approx 3.14$. Следовательно, мы можем считать, что $T^2 \approx \pi^2$, что позволяет сократить эти величины в числителе и знаменателе.

$\Delta x = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot 0.3 \text{ м}}{60 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot (3.14 \text{ с})^2} \approx \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot 0.2 \cdot 0.3}{60 \cdot \pi^2} \text{ м}$

$\Delta x \approx \frac{4 \cdot 0.2 \cdot 0.3}{60} \text{ м} = \frac{0.24}{60} \text{ м} = 0.004 \text{ м}$

Для удобства можно перевести результат в миллиметры: $0.004 \text{ м} = 4 \text{ мм}$.

Ответ: удлинение нити составляет $0.004$ м.