Номер 4, страница 11 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

4. Чем определяется выбор системы координат? Покажите на примерах.

Выбор системы координат определяется, в первую очередь, стремлением максимально упростить математическое описание задачи и, как следствие, её решение. Удачно выбранная система координат позволяет:

• Уменьшить количество переменных в уравнениях.
• Разделить сложные векторные уравнения на несколько более простых скалярных уравнений (развязать уравнения).
• Сделать уравнения и граничные условия более простыми за счёт использования симметрии задачи.

Ключевым фактором, влияющим на выбор, является симметрия физической системы, траектории движения или действующих полей.

Для описания такого движения наиболее удобна прямоугольная (декартова) система координат.

Почему? Основная сила, действующая на тело (в пренебрежении сопротивлением воздуха), — это сила тяжести, направленная вертикально вниз. Если мы направим одну ось (например, ось OY) вертикально вверх, а другую (ось OX) — горизонтально, то вектор ускорения свободного падения будет иметь очень простой вид: $\vec{a} = (0, -g)$.

В этом случае движение раскладывается на два независимых:

• Равномерное движение вдоль оси OX: $x(t) = v_{0x} t$.
• Равноускоренное движение вдоль оси OY: $y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{gt^2}{2}$.

Если бы мы выбрали систему координат, оси которой наклонены к горизонту, то проекции вектора ускорения $\vec{g}$ были бы на обе оси, и уравнения движения стали бы связанными и более сложными.

Ответ: В задачах с постоянным вектором силы (или ускорения) систему координат удобно выбирать так, чтобы одна из осей совпадала по направлению с этим вектором. Это упрощает уравнения движения, разделяя их на независимые компоненты.

Для описания движения точки по окружности или кривым, имеющим осевую симметрию, удобно использовать полярную (на плоскости) или цилиндрическую (в пространстве) систему координат.

Почему? При движении по окружности радиуса $R$ одна из координат — расстояние до центра — остаётся постоянной: $r = R$. Изменяется только угловая координата $\varphi$. В декартовых координатах пришлось бы использовать две изменяющиеся во времени координаты: $x = R \cos(\varphi(t))$ и $y = R \sin(\varphi(t))$, что усложняет описание.

Например, для равномерного движения по окружности в полярной системе координаты: $r = R = \text{const}$, $\varphi = \omega t$. Это гораздо проще, чем работать с синусами и косинусами в декартовой системе. Аналогично, для движения по винтовой линии (спирали) в цилиндрической системе координат $(r, \varphi, z)$ радиус $r$ постоянен, а координаты $\varphi$ и $z$ изменяются линейно со временем, что также сильно упрощает описание.

Ответ: Для задач с осевой или круговой симметрией (вращательное движение, поля длинного провода с током) выбор цилиндрической или полярной системы координат позволяет сделать одну из координат постоянной, что существенно упрощает анализ.

Для описания полей, обладающих центральной или сферической симметрией, наиболее удобной является сферическая система координат.

Почему? Гравитационное поле точечной массы или электрическое поле точечного заряда зависит только от расстояния до этого центра. Направив начало координат в центр (в точку, где находится масса или заряд), мы получаем, что потенциал поля зависит только от одной координаты — радиальной $r$: $\phi(r) = -\frac{GM}{r}$ (для гравитации) или $\phi(r) = \frac{kq}{r}$ (для электростатики). Напряжённость поля также имеет простейший вид и направлена вдоль радиус-вектора.

В декартовых координатах тот же потенциал выглядит гораздо сложнее: $\phi(x, y, z) = \frac{kq}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$. Решение задач с использованием такого выражения, например, вычисление потока через поверхность, было бы значительно труднее.

Ответ: Для задач со сферической симметрией (поле точечного заряда, гравитационное поле звезды, колебания сферической капли) выбор сферической системы координат с началом в центре симметрии сводит зависимость физических величин от трёх пространственных координат к зависимости только от одной (радиальной) координаты.