Номер 1354, страница 253 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$U_д = 71$ В

$T = 20$ мс

$U_з = 87$ В

Перевод всех данных в систему СИ:

$T = 20 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0.02 \text{ с}$

Найти:

$\tau$ — ?

$n$ — ?

Решение:

Напряжение в сети переменного тока изменяется по синусоидальному закону: $u(t) = U_m \sin(\omega t)$, где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, а $\omega$ — циклическая частота. Связь между действующим (RMS) значением напряжения $U_д$ и амплитудным $U_m$ выражается формулой:

$U_m = U_д \sqrt{2}$

Вычислим амплитудное значение напряжения в сети:

$U_m = 71 \cdot \sqrt{2} \approx 100.4$ В

Неоновая лампа зажигается, когда модуль мгновенного значения напряжения на ней $|u(t)|$ достигает или превышает напряжение зажигания $U_з$. Поскольку амплитудное значение напряжения $U_m \approx 100.4$ В больше напряжения зажигания $U_з = 87$ В, лампа будет периодически вспыхивать.

Число n вспышек за одну секунду

Лампа вспыхивает, когда $|u(t)| \ge U_з$. За один период колебаний переменного тока напряжение дважды достигает значений, достаточных для зажигания лампы: один раз в положительный полупериод ($u(t) \ge U_з$) и один раз в отрицательный ($u(t) \le -U_з$). Таким образом, за один период происходит две вспышки.

Частота переменного тока $f$ связана с периодом $T$ соотношением:

$f = \frac{1}{T}$

$f = \frac{1}{0.02 \text{ с}} = 50$ Гц

Число вспышек в секунду $n$ вдвое больше частоты тока:

$n = 2f = 2 \cdot 50 = 100$ вспышек/с

Ответ: $n = 100$ вспышек в секунду.

Промежуток времени τ, в течение которого длится вспышка лампы

Длительность одной вспышки $\tau$ — это промежуток времени в течение одного полупериода, когда $|u(t)| \ge U_з$. Рассмотрим положительный полупериод. Вспышка начинается в момент времени $t_1$, когда $u(t_1) = U_з$, и заканчивается в момент $t_2$, когда напряжение вновь становится равным $U_з$.

$U_m \sin(\omega t_1) = U_з$

Отсюда фаза в момент зажигания: $\phi_1 = \omega t_1 = \arcsin\left(\frac{U_з}{U_m}\right)$.

Из-за симметрии синусоиды относительно момента времени $t = T/4$ (фаза $\pi/2$), фаза в момент погасания лампы будет $\phi_2 = \omega t_2 = \pi - \phi_1$.

Длительность вспышки $\tau = t_2 - t_1$. Выразим ее через фазы:

$\omega\tau = \omega t_2 - \omega t_1 = \phi_2 - \phi_1 = (\pi - \phi_1) - \phi_1 = \pi - 2\phi_1$

$\tau = \frac{\pi - 2\phi_1}{\omega} = \frac{\pi - 2\arcsin\left(\frac{U_з}{U_m}\right)}{\omega}$

Зная, что $\omega = \frac{2\pi}{T}$, получим:

$\tau = \frac{T}{2\pi} \left( \pi - 2\arcsin\left(\frac{U_з}{U_m}\right) \right) = T \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arcsin\left(\frac{U_з}{U_m}\right) \right)$

Подставим числовые значения:

$\frac{U_з}{U_m} = \frac{87}{71\sqrt{2}} \approx \frac{87}{100.4} \approx 0.8665$

$\arcsin(0.8665) \approx 1.048$ рад

$\tau \approx 0.02 \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1.048}{3.1416} \right) \approx 0.02 \cdot (0.5 - 0.3336) = 0.02 \cdot 0.1664 \approx 0.003328$ с

Переведем в миллисекунды: $\tau \approx 3.3$ мс.

Ответ: $\tau \approx 3.3$ мс.