Номер 1350, страница 252 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Площадь рамки $S = 10 \text{ дм}^2$

Сопротивление $R = 0,45 \text{ кОм}$

Угловая скорость $\omega = 0,10 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Модуль магнитной индукции $B = 0,10 \text{ Тл}$

Число оборотов $N = 1,0 \cdot 10^4$

Перевод в систему СИ:

$S = 10 \text{ дм}^2 = 10 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 = 0,10 \text{ м}^2$

$R = 0,45 \text{ кОм} = 0,45 \cdot 10^3 \text{ Ом} = 450 \text{ Ом}$

Найти:

$Q$ — количество теплоты.

Решение:

При вращении рамки в магнитном поле магнитный поток, пронизывающий ее, изменяется со временем. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Угол $\alpha$ между вектором нормали к плоскости рамки $\vec{n}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$ изменяется по закону $\alpha(t) = \omega t$ (при условии, что в начальный момент времени $t=0$ плоскость рамки перпендикулярна вектору $\vec{B}$).

Магнитный поток $\Phi$ через рамку в момент времени $t$ определяется формулой:

$\Phi(t) = B S \cos(\alpha) = B S \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$, возникающая в рамке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt}(B S \cos(\omega t)) = -B S (-\omega \sin(\omega t)) = B S \omega \sin(\omega t)$

Амплитудное значение ЭДС индукции: $\mathcal{E}_{max} = B S \omega$.

Индукционный ток в рамке по закону Ома для полной цепи:

$I(t) = \frac{\mathcal{E}(t)}{R} = \frac{B S \omega}{R} \sin(\omega t)$

Мгновенная мощность тепловых потерь в рамке (мощность тока) равна:

$P(t) = I^2(t) R = \left(\frac{B S \omega}{R} \sin(\omega t)\right)^2 R = \frac{B^2 S^2 \omega^2}{R} \sin^2(\omega t)$

Количество теплоты $Q$, выделившееся за время $t$, можно найти, умножив среднюю мощность $P_{ср}$ на это время. Среднее значение функции $\sin^2(\omega t)$ за большой промежуток времени равно $\frac{1}{2}$.

Средняя мощность, выделяемая в рамке:

$P_{ср} = \frac{B^2 S^2 \omega^2}{R} \cdot \langle\sin^2(\omega t)\rangle = \frac{B^2 S^2 \omega^2}{2R}$

Время $t$, за которое рамка совершит $N$ оборотов, можно найти из определения угловой скорости. Полный угол поворота за $N$ оборотов составляет $\Delta\varphi = 2\pi N$.

$t = \frac{\Delta\varphi}{\omega} = \frac{2\pi N}{\omega}$

Тогда количество выделившейся теплоты $Q$ равно произведению средней мощности на время:

$Q = P_{ср} \cdot t = \frac{B^2 S^2 \omega^2}{2R} \cdot \frac{2\pi N}{\omega} = \frac{\pi N B^2 S^2 \omega}{R}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$Q = \frac{\pi \cdot (1,0 \cdot 10^4) \cdot (0,10 \text{ Тл})^2 \cdot (0,10 \text{ м}^2)^2 \cdot 0,10 \frac{\text{рад}}{\text{с}}}{450 \text{ Ом}}$

$Q = \frac{\pi \cdot 10^4 \cdot 0,01 \cdot 0,01 \cdot 0,1}{450} \text{ Дж} = \frac{\pi \cdot 10^4 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-1}}{450} \text{ Дж} = \frac{0,1 \pi}{450} \text{ Дж} = \frac{\pi}{4500} \text{ Дж}$

$Q \approx \frac{3,1416}{4500} \text{ Дж} \approx 6,98 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

С учетом того, что исходные данные приведены с двумя значащими цифрами, округляем результат:

$Q \approx 7,0 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} = 0,70 \text{ мДж}$

Ответ: $Q \approx 0,70 \text{ мДж}$.