Номер 1343, страница 251 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$L = 0,10 \text{ Гн}$

$C = 0,90 \text{ мкФ}$

$L = 0,10 \text{ Гн}$

$C = 0,90 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

$\Delta t$

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Она складывается из энергии электрического поля в конденсаторе $W_C$ и энергии магнитного поля в катушке $W_L$:

$W_{полная} = W_C + W_L = \text{const}$

Энергия конденсатора и катушки определяются выражениями:

$W_C = \frac{q^2}{2C}$, $W_L = \frac{Li^2}{2}$

где $q$ — заряд на конденсаторе, $i$ — сила тока в катушке, $C$ — емкость конденсатора, $L$ — индуктивность катушки.

Колебания в контуре являются гармоническими. Выберем начало отсчета времени ($t=0$) в момент, когда конденсатор полностью разряжен. В этот момент заряд $q=0$, а сила тока $i$ максимальна ($i=I_{max}$). Тогда зависимость заряда и тока от времени можно описать следующими уравнениями:

$q(t) = q_{max}\sin(\omega t)$

$i(t) = I_{max}\cos(\omega t)$

где $\omega$ — циклическая частота колебаний. Энергии в любой момент времени $t$ можно выразить через максимальную энергию в контуре $W_{max}$:

$W_C(t) = \frac{q_{max}^2 \sin^2(\omega t)}{2C} = W_{max}\sin^2(\omega t)$

$W_L(t) = \frac{L I_{max}^2 \cos^2(\omega t)}{2} = W_{max}\cos^2(\omega t)$

По условию задачи, в искомый момент времени $\Delta t$ энергия конденсатора вдвое превышает энергию катушки:

$W_C(\Delta t) = 2 \cdot W_L(\Delta t)$

Подставим выражения для энергий:

$W_{max}\sin^2(\omega \Delta t) = 2 \cdot W_{max}\cos^2(\omega \Delta t)$

Сократив на $W_{max}$ и разделив обе части на $\cos^2(\omega \Delta t)$ (что возможно, так как если $\cos(\omega \Delta t) = 0$, то и $\sin(\omega \Delta t) = 0$, что физически невозможно), получим:

$\tan^2(\omega \Delta t) = 2$

Так как мы ищем наименьший положительный промежуток времени, нас интересует первое решение этого уравнения при $\Delta t > 0$:

$\tan(\omega \Delta t) = \sqrt{2}$

Отсюда находим фазу колебаний:

$\omega \Delta t = \arctan(\sqrt{2})$

Искомый промежуток времени $\Delta t$ равен:

$\Delta t = \frac{\arctan(\sqrt{2})}{\omega}$

Циклическая частота $\omega$ определяется по формуле Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Тогда:

$\Delta t = \sqrt{LC} \cdot \arctan(\sqrt{2})$

Подставим числовые значения:

$\Delta t = \sqrt{0,10 \text{ Гн} \cdot 0,90 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} \cdot \arctan(\sqrt{2})$

$\Delta t = \sqrt{0,09 \cdot 10^{-6} \text{ с}^2} \cdot \arctan(\sqrt{2})$

$\Delta t = 0,3 \cdot 10^{-3} \text{ с} \cdot \arctan(\sqrt{2})$

Значение арктангенса в радианах: $\arctan(\sqrt{2}) \approx 0,955 \text{ рад}$.

$\Delta t \approx 0,3 \cdot 10^{-3} \cdot 0,955 \approx 0,2865 \cdot 10^{-3} \text{ с} \approx 2,9 \cdot 10^{-4} \text{ с}$

Ответ: $\Delta t \approx 2,9 \cdot 10^{-4} \text{ с}$ или $0,29 \text{ мс}$.