Номер 1340, страница 250 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$I_{max} = 1,0 \text{ А}$

$U_{max} = 0,30 \text{ кВ} = 0,30 \cdot 10^3 \text{ В} = 300 \text{ В}$

$W = 0,15 \text{ мДж} = 0,15 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Найти:

$\nu$ - ?

Решение:

Полная энергия $W$ электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (состоящем из катушки индуктивности и конденсатора) сохраняется. Эта энергия периодически переходит из энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно.

Максимальная энергия, запасенная в катушке индуктивности $L$, когда ток максимален ($I_{max}$), равна полной энергии контура:

$W = W_{L, max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Максимальная энергия, запасенная в конденсаторе емкостью $C$, когда напряжение максимально ($U_{max}$), также равна полной энергии контура:

$W = W_{C, max} = \frac{C U_{max}^2}{2}$

Из этих двух уравнений можно выразить индуктивность $L$ и емкость $C$ через известные величины:

$L = \frac{2W}{I_{max}^2}$

$C = \frac{2W}{U_{max}^2}$

Частота собственных электромагнитных колебаний в контуре $\nu$ связана с периодом $T$ соотношением $\nu = 1/T$. Период колебаний определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Следовательно, формула для частоты:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Подставим в эту формулу выражения для $L$ и $C$, которые мы нашли ранее:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{\left(\frac{2W}{I_{max}^2}\right) \cdot \left(\frac{2W}{U_{max}^2}\right)}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{4W^2}{I_{max}^2 U_{max}^2}}}$

Упростив выражение под корнем, получим:

$\nu = \frac{1}{2\pi \frac{2W}{I_{max} U_{max}}} = \frac{I_{max} U_{max}}{4\pi W}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$\nu = \frac{1,0 \text{ А} \cdot 300 \text{ В}}{4\pi \cdot 0,15 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}} = \frac{300}{0,6\pi \cdot 10^{-3}} \text{ Гц} = \frac{500}{\pi \cdot 10^{-3}} \text{ Гц} = \frac{5 \cdot 10^5}{\pi} \text{ Гц}$

Выполним вычисление, приняв $\pi \approx 3,14$:

$\nu \approx \frac{500000}{3,14} \approx 159235 \text{ Гц}$

Учитывая, что данные в условии задачи приведены с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр:

$\nu \approx 1,6 \cdot 10^5 \text{ Гц} = 160 \text{ кГц}$

Ответ: частота электромагнитных колебаний в контуре составляет приблизительно $160 \text{ кГц}$.