Номер 1335, страница 250 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Индуктивность катушки, $L = 2,0 \text{ мГн} = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$
Частота колебаний, $\nu = 0,13 \text{ МГц} = 0,13 \cdot 10^6 \text{ Гц}$
Площадь обкладок конденсатора, $S = 8,0 \text{ дм}^2 = 8,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$
Расстояние между обкладками, $d = 10 \text{ мм} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 10^{-2} \text{ м}$
Электрическая постоянная, $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Найти:

Диэлектрическая проницаемость, $\varepsilon$ - ?

Решение

Частота свободных электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Из этой формулы мы можем выразить емкость конденсатора $C$:

$\sqrt{LC} = \frac{1}{2\pi\nu}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$LC = \frac{1}{4\pi^2\nu^2}$

$C = \frac{1}{4\pi^2\nu^2L}$

С другой стороны, емкость плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, вычисляется по формуле:

$C = \frac{\varepsilon\varepsilon_0S}{d}$

где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $S$ – площадь обкладок, $d$ – расстояние между ними.

Приравняем два выражения для емкости $C$:

$\frac{\varepsilon\varepsilon_0S}{d} = \frac{1}{4\pi^2\nu^2L}$

Выразим из этого уравнения искомую диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$:

$\varepsilon = \frac{d}{4\pi^2\nu^2L\varepsilon_0S}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\varepsilon = \frac{10^{-2}}{4 \cdot (3,14)^2 \cdot (0,13 \cdot 10^6)^2 \cdot (2,0 \cdot 10^{-3}) \cdot (8,85 \cdot 10^{-12}) \cdot (8,0 \cdot 10^{-2})}$

$\varepsilon = \frac{10^{-2}}{4 \cdot 9,86 \cdot 0,0169 \cdot 10^{12} \cdot 2,0 \cdot 10^{-3} \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 8,0 \cdot 10^{-2}}$

$\varepsilon \approx \frac{10^{-2}}{94,55 \cdot 10^{-5}} = \frac{10^{-2}}{9,455 \cdot 10^{-4}} \approx 0,1057 \cdot 10^2 \approx 10,57$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$\varepsilon \approx 11$

Ответ: диэлектрическая проницаемость диэлектрика $\varepsilon \approx 11$.