Номер 1334, страница 250 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S = 50 \text{ см}^2$

$d = 2,0 \text{ мм}$

$\epsilon = 2,1$

$L = 1,0 \text{ Гн}$

Перевод в систему СИ:

$S = 50 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 50 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

$d = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$L = 1,0 \text{ Гн}$

Электрическая постоянная $\epsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$.

Найти:

$T$ - ?

$\nu$ - ?

Решение:

Для определения периода и частоты колебаний в LC-контуре, необходимо сначала найти электроемкость $C$ плоского конденсатора. Емкость плоского конденсатора с диэлектриком между обкладками вычисляется по формуле:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

Подставим известные значения:

$C = \frac{2,1 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2}{2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 46,4625 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 4,65 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Определение периода T

Период свободных электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Подставим значения индуктивности $L$ и рассчитанной емкости $C$:

$T = 2\pi\sqrt{1,0 \text{ Гн} \cdot 4,64625 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}} \approx 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{4,64625 \cdot 10^{-11}} \text{ с}$

$T \approx 6,28 \cdot 6,816 \cdot 10^{-6} \text{ с} \approx 4,28 \cdot 10^{-5} \text{ с}$

Ответ: Период электромагнитных колебаний $T \approx 4,28 \cdot 10^{-5} \text{ с}$ (или $42,8 \text{ мкс}$).

Определение частоты ν

Частота колебаний $\nu$ связана с периодом $T$ обратной зависимостью:

$\nu = \frac{1}{T}$

Используем вычисленное значение периода (для большей точности возьмем не округленное значение $T \approx 4,2829 \cdot 10^{-5} \text{ с}$):

$\nu = \frac{1}{4,2829 \cdot 10^{-5} \text{ с}} \approx 23349 \text{ Гц} \approx 2,33 \cdot 10^4 \text{ Гц}$

Ответ: Частота электромагнитных колебаний $\nu \approx 2,33 \cdot 10^4 \text{ Гц}$ (или $23,3 \text{ кГц}$).