Номер 1337, страница 250 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Индуктивность катушки $L = 3,0$ мГн

Радиус дисков конденсатора $R = 1,2$ см

Расстояние между дисками $d = 0,30$ мм

Диэлектрическая проницаемость среды $\varepsilon = 4,0$

Электрическая постоянная $\varepsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Перевод в систему СИ:

$L = 3,0 \cdot 10^{-3}$ Гн

$R = 1,2 \cdot 10^{-2}$ м

$d = 0,30 \cdot 10^{-3}$ м $= 3,0 \cdot 10^{-4}$ м

Найти:

Период электромагнитных колебаний $T$

Решение:

Период электромагнитных колебаний в колебательном LC-контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – емкость конденсатора.

Ёмкость плоского конденсатора, обкладки которого представляют собой диски, вычисляется по формуле:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

Здесь $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды, $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $S$ – площадь одной обкладки (диска), $d$ – расстояние между обкладками.

Площадь диска радиусом $R$ равна:

$S = \pi R^2$

Подставим выражение для площади в формулу для ёмкости:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 \pi R^2}{d}$

Теперь подставим полученное выражение для ёмкости $C$ в формулу Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{L \frac{\varepsilon \varepsilon_0 \pi R^2}{d}}$

Проведем вычисления. Сначала найдем ёмкость конденсатора:

$C = \frac{4,0 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot \pi \cdot (1,2 \cdot 10^{-2})^2}{0,30 \cdot 10^{-3}} \approx \frac{4,0 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 3,14 \cdot 1,44 \cdot 10^{-4}}{3,0 \cdot 10^{-4}} \approx 5,34 \cdot 10^{-11}$ Ф

Теперь вычислим период колебаний, используя полученное значение ёмкости:

$T = 2\pi\sqrt{3,0 \cdot 10^{-3} \cdot 5,34 \cdot 10^{-11}} \approx 2\pi\sqrt{1,602 \cdot 10^{-13}} = 2\pi\sqrt{16,02 \cdot 10^{-14}}$

$T \approx 6,28 \cdot 4,00 \cdot 10^{-7} \approx 2,51 \cdot 10^{-6}$ с

Так как наименьшая точность исходных данных составляет две значащие цифры, округлим ответ до двух значащих цифр:

$T \approx 2,5 \cdot 10^{-6}$ с

Переводя в микросекунды ($1 \text{ мкс} = 10^{-6}$ с), получаем:

$T \approx 2,5$ мкс

Ответ: $T \approx 2,5$ мкс.