Номер 1344, страница 251 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Индуктивность катушки $L = 0,20$ Гн

Электроемкость конденсатора $C = 10$ мкФ

Максимальное напряжение на конденсаторе $U_{max} = 2,0$ В

Перевод в систему СИ:

$C = 10 \text{ мкФ} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}$

$I$ — ? (сила тока, когда энергия распределена поровну)

$I_{max}$ — ? (максимальная сила тока)

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. В начальный момент времени, когда конденсатор полностью заряжен, а ток в катушке равен нулю, вся энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора. Эта энергия является полной энергией контура $W$ и остается постоянной в течение всего процесса колебаний.

$W = W_{E,max} = \frac{C U_{max}^2}{2}$

Рассчитаем полную энергию контура:

$W = \frac{10^{-5} \text{ Ф} \cdot (2,0 \text{ В})^2}{2} = \frac{10^{-5} \cdot 4,0}{2} = 2,0 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Сила тока I в момент, когда энергия контура окажется поровну распределенной между электрическим и магнитным полями

По условию задачи, в рассматриваемый момент времени энергия электрического поля $W_E$ равна энергии магнитного поля $W_M$:

$W_E = W_M$

Полная энергия контура $W$ в этот момент является суммой этих энергий:

$W = W_E + W_M = W_M + W_M = 2W_M$

Отсюда следует, что энергия магнитного поля составляет половину от полной энергии контура:

$W_M = \frac{W}{2}$

Энергия магнитного поля катушки также выражается формулой $W_M = \frac{L I^2}{2}$. Приравняем два выражения для $W_M$:

$\frac{L I^2}{2} = \frac{W}{2}$

Из этого равенства следует, что $L I^2 = W$.

Выразим искомую силу тока $I$:

$I = \sqrt{\frac{W}{L}}$

Подставим числовые значения:

$I = \sqrt{\frac{2,0 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}}{0,20 \text{ Гн}}} = \sqrt{1,0 \cdot 10^{-4} \text{ А}^2} = 1,0 \cdot 10^{-2} \text{ А}$

Ответ: Сила тока в момент, когда энергия распределена поровну, составляет $1,0 \cdot 10^{-2}$ А (или 10 мА).

Максимальная сила тока $I_{max}$ в катушке

Максимальное значение силы тока $I_{max}$ в контуре достигается в тот момент, когда конденсатор полностью разряжен ($U=0$, и, следовательно, $W_E=0$), и вся энергия контура перешла в энергию магнитного поля катушки.

$W = W_{M,max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Выразим из этой формулы максимальную силу тока $I_{max}$:

$I_{max} = \sqrt{\frac{2W}{L}}$

Подставим числовые значения:

$I_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,0 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}}{0,20 \text{ Гн}}} = \sqrt{\frac{4,0 \cdot 10^{-5}}{0,20}} \text{ А} = \sqrt{20 \cdot 10^{-5}} \text{ А} = \sqrt{2 \cdot 10^{-4}} \text{ А} = \sqrt{2} \cdot 10^{-2} \text{ А}$

Рассчитаем приближенное значение, используя $\sqrt{2} \approx 1,414$:

$I_{max} \approx 1,414 \cdot 10^{-2} \text{ А} \approx 14 \text{ мА}$

Ответ: Максимальная сила тока в катушке равна $\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ А, что приблизительно составляет 14 мА.