Номер 1348, страница 252 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Электроемкость первого конденсатора: $C_1 = C$

Электроемкость второго конденсатора: $C_2 = C$

Индуктивность катушки: $L$

Начальное напряжение на первом конденсаторе: $U_{C1}(0) = U$

Начальное напряжение на втором конденсаторе: $U_{C2}(0) = 0$

Начальная сила тока в катушке: $I_L(0) = 0$

Найти:

Максимальная сила тока в катушке: $I_{max}$

Решение:

В начальный момент времени (до замыкания ключа K) вся энергия системы сосредоточена в заряженном конденсаторе $C_1$.

Начальная энергия системы: $W_{нач} = \frac{C_1 U^2}{2} = \frac{C U^2}{2}$.

В момент замыкания ключа K конденсаторы $C_1$ и $C_2$ оказываются соединенными параллельно. Так как в цепи, соединяющей конденсаторы, нет сопротивления или индуктивности, происходит практически мгновенное перераспределение заряда между ними до тех пор, пока напряжение на них не станет одинаковым. Применим закон сохранения заряда для изолированной системы верхних (или нижних) обкладок конденсаторов.

Суммарный заряд до замыкания ключа: $Q_{общ} = q_1 + q_2 = C_1 U + 0 = C U$.

После замыкания ключа этот заряд перераспределяется между двумя конденсаторами. Пусть новые заряды на них $q'_1$ и $q'_2$. Так как конденсаторы соединены параллельно, напряжение на них одинаково: $U' = \frac{q'_1}{C_1} = \frac{q'_2}{C_2}$. Поскольку $C_1 = C_2 = C$, то и заряды будут равны: $q'_1 = q'_2$.

Из закона сохранения заряда: $q'_1 + q'_2 = Q_{общ} \implies 2q'_1 = C U \implies q'_1 = q'_2 = \frac{C U}{2}$.

Напряжение на конденсаторах сразу после замыкания ключа становится: $U' = \frac{q'_1}{C} = \frac{C U / 2}{C} = \frac{U}{2}$.

Сила тока в катушке не может измениться мгновенно, поэтому сразу после замыкания ключа она по-прежнему равна нулю: $I_L(0^+) = 0$.

Энергия системы в этот момент ($t=0^+$) становится начальной энергией для последующих электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из двух параллельно соединенных конденсаторов и катушки:

$W_{osc} = \frac{q'_1{}^2}{2C} + \frac{q'_2{}^2}{2C} + \frac{L I_L(0^+)^2}{2} = \frac{(C U/2)^2}{2C} + \frac{(C U/2)^2}{2C} + 0 = 2 \cdot \frac{C^2 U^2 / 4}{2C} = \frac{C U^2}{4}$.

Далее в контуре возникают колебания. Энергия, запасенная в конденсаторах, переходит в энергию магнитного поля катушки и обратно. Сила тока в катушке будет максимальной ($I_{max}$) в тот момент, когда вся энергия колебательного контура перейдет в энергию магнитного поля катушки. В этот момент энергия на конденсаторах (а значит, и напряжение на них) будет равна нулю.

По закону сохранения энергии для колебательного процесса ($t > 0$):

$W_{L,max} = W_{osc}$

$\frac{L I_{max}^2}{2} = \frac{C U^2}{4}$

Выразим $I_{max}^2$:

$I_{max}^2 = \frac{C U^2}{2L}$

Отсюда находим максимальное значение силы тока:

$I_{max} = \sqrt{\frac{C U^2}{2L}} = U \sqrt{\frac{C}{2L}}$

Ответ: Максимальное значение силы тока в катушке после замыкания ключа равно $I_{max} = U \sqrt{\frac{C}{2L}}$.