Номер 1355, страница 253 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$k = 2,0$

$\Delta t = 30 \text{ мин}$

Переведем все данные в систему СИ:
$\Delta t = 30 \text{ мин} = 30 \times 60 \text{ с} = 1800 \text{ с}$

Найти:

$\tau$

Решение:

Напряжение в сети переменного тока изменяется по гармоническому закону, например, по закону синуса:

$U(t) = U_{амп} \sin(\omega t)$

где $U_{амп}$ — амплитудное значение напряжения, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время.

Неоновая лампа зажигается и гаснет при напряжении на ее электродах, равном $U_{заж}$. По условию задачи, это напряжение в $k$ раз меньше амплитудного:

$U_{заж} = \frac{U_{амп}}{k}$

Лампа будет светиться, когда мгновенное значение напряжения по модулю будет больше или равно напряжению зажигания:

$|U(t)| \ge U_{заж}$

Подставим выражения для $U(t)$ и $U_{заж}$ в это неравенство:

$|U_{амп} \sin(\omega t)| \ge \frac{U_{амп}}{k}$

Поскольку $U_{амп} > 0$, можно сократить обе части неравенства на $U_{амп}$:

$|\sin(\omega t)| \ge \frac{1}{k}$

Подставим в это условие данное значение $k=2,0$:

$|\sin(\omega t)| \ge \frac{1}{2}$

Теперь определим, какую долю одного периода $T$ лампа светится. Период $T = 2\pi / \omega$.

Рассмотрим первую половину периода ($0 \le \omega t \le \pi$), когда $\sin(\omega t) \ge 0$. Условие свечения принимает вид:

$\sin(\omega t) \ge \frac{1}{2}$

Это неравенство выполняется для фазы $\omega t$ в интервале от $\pi/6$ до $5\pi/6$. Длительность этого интервала фазы составляет $\Delta\phi_1 = 5\pi/6 - \pi/6 = 4\pi/6 = 2\pi/3$. Соответствующий промежуток времени $\Delta t_1 = \Delta\phi_1 / \omega = (2\pi/3)/\omega$.

Рассмотрим вторую половину периода ($\pi \le \omega t \le 2\pi$), когда $\sin(\omega t) \le 0$. Условие свечения $| \sin(\omega t) | \ge 1/2$ принимает вид:

$-\sin(\omega t) \ge \frac{1}{2}$, или $\sin(\omega t) \le -\frac{1}{2}$

Это неравенство выполняется для фазы $\omega t$ в интервале от $7\pi/6$ до $11\pi/6$. Длительность этого интервала фазы составляет $\Delta\phi_2 = 11\pi/6 - 7\pi/6 = 4\pi/6 = 2\pi/3$. Соответствующий промежуток времени $\Delta t_2 = \Delta\phi_2 / \omega = (2\pi/3)/\omega$.

Суммарное время свечения лампы за один период $T$ равно:

$\tau_{период} = \Delta t_1 + \Delta t_2 = \frac{2\pi}{3\omega} + \frac{2\pi}{3\omega} = \frac{4\pi}{3\omega}$

Найдем долю времени, в течение которого лампа светится, от всего периода:

$\frac{\tau_{период}}{T} = \frac{4\pi / (3\omega)}{2\pi / \omega} = \frac{4\pi}{3\omega} \cdot \frac{\omega}{2\pi} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Таким образом, лампа светится 2/3 от всего времени, в течение которого она подключена к сети. Общее время свечения $\tau$ за промежуток времени $\Delta t$ будет:

$\tau = \frac{2}{3} \Delta t$

Подставим значение $\Delta t = 30 \text{ мин}$:

$\tau = \frac{2}{3} \times 30 \text{ мин} = 2 \times 10 \text{ мин} = 20 \text{ мин}$

Ответ: общее время свечения лампы составит 20 мин.