Номер 1351, страница 252 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Площадь рамки $S = 1,0 \text{ дм}^2 = 1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

Частота вращения $ \nu = 60 \text{ мин}^{-1} = \frac{60}{60 \text{ с}} = 1 \text{ с}^{-1} = 1 \text{ Гц}$

Модуль магнитной индукции $B = 0,10 \text{ Тл}$

Промежуток времени $\Delta t = 5,0 \text{ мин} = 5,0 \cdot 60 \text{ с} = 300 \text{ с}$

Материал рамки - медь.

Справочные данные для меди:

Удельное электрическое сопротивление $ \rho = 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} $

Плотность $ d = 8960 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} $

Удельная теплоемкость $ c = 385 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} $

Найти:

Изменение температуры рамки $\Delta T$.

Решение:

При вращении рамки в магнитном поле магнитный поток $ \Phi $, пронизывающий ее, изменяется со временем. Магнитный поток определяется по формуле:

$\Phi(t) = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $ \alpha $ - угол между вектором магнитной индукции $ \vec{B} $ и нормалью к плоскости рамки. Так как рамка вращается с постоянной частотой $ \nu $, то угол $ \alpha $ изменяется по закону $ \alpha = \omega t $, где $ \omega = 2\pi\nu $ - угловая частота вращения.

$\Phi(t) = B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, в рамке возникает ЭДС индукции $ \mathcal{E} $, равная скорости изменения магнитного потока:

$\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt} (B \cdot S \cdot \cos(\omega t)) = B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Это переменная ЭДС с амплитудным значением $ \mathcal{E}_{max} = B \cdot S \cdot \omega $.

Действующее (среднеквадратичное) значение ЭДС равно:

$\mathcal{E}_{действ} = \frac{\mathcal{E}_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{B \cdot S \cdot \omega}{\sqrt{2}}$

В рамке будет течь индукционный ток, который вызовет ее нагревание. Средняя мощность $ P $, выделяемая в рамке в виде тепла, по закону Джоуля-Ленца равна:

$P = \frac{\mathcal{E}_{действ}^2}{R} = \frac{(B \cdot S \cdot \omega)^2}{2R}$

где $ R $ - сопротивление рамки.

Количество теплоты $ Q $, выделившееся за время $ \Delta t $, равно:

$Q = P \cdot \Delta t = \frac{(B \cdot S \cdot \omega)^2 \cdot \Delta t}{2R}$

Это количество теплоты идет на нагревание рамки, и его можно выразить через изменение температуры $ \Delta T $:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta T$

где $ c $ - удельная теплоемкость меди, а $ m $ - масса рамки.

Приравнивая два выражения для $ Q $, получаем:

$c \cdot m \cdot \Delta T = \frac{(B \cdot S \cdot \omega)^2 \cdot \Delta t}{2R}$

Выразим $ \Delta T $:

$\Delta T = \frac{(B \cdot S \cdot \omega)^2 \cdot \Delta t}{2 \cdot R \cdot m \cdot c}$

Массу $ m $ и сопротивление $ R $ рамки можно выразить через ее геометрические параметры и свойства материала. Пусть $ a $ - сторона квадратной рамки, $ A_{сеч} $ - площадь поперечного сечения провода. Тогда площадь рамки $ S = a^2 $, а длина провода $ L = 4a = 4\sqrt{S} $.

Сопротивление рамки: $ R = \rho \frac{L}{A_{сеч}} = \frac{4\rho\sqrt{S}}{A_{сеч}} $.

Масса рамки: $ m = d \cdot V = d \cdot L \cdot A_{сеч} = d \cdot 4\sqrt{S} \cdot A_{сеч} $.

Найдем произведение $ R \cdot m $:

$R \cdot m = \left(\frac{4\rho\sqrt{S}}{A_{сеч}}\right) \cdot (d \cdot 4\sqrt{S} \cdot A_{сеч}) = 16 \cdot \rho \cdot d \cdot S$

Как видно, неизвестная площадь сечения провода $ A_{сеч} $ сокращается.

Подставим полученное выражение для $ R \cdot m $ в формулу для $ \Delta T $:

$\Delta T = \frac{(B \cdot S \cdot \omega)^2 \cdot \Delta t}{2 \cdot (16 \cdot \rho \cdot d \cdot S) \cdot c} = \frac{B^2 \cdot S^2 \cdot \omega^2 \cdot \Delta t}{32 \cdot \rho \cdot d \cdot S \cdot c} = \frac{B^2 \cdot S \cdot \omega^2 \cdot \Delta t}{32 \cdot \rho \cdot d \cdot c}$

Подставим $ \omega = 2\pi\nu $:

$\Delta T = \frac{B^2 \cdot S \cdot (2\pi\nu)^2 \cdot \Delta t}{32 \cdot \rho \cdot d \cdot c} = \frac{4\pi^2 \cdot B^2 \cdot S \cdot \nu^2 \cdot \Delta t}{32 \cdot \rho \cdot d \cdot c} = \frac{\pi^2 \cdot B^2 \cdot S \cdot \nu^2 \cdot \Delta t}{8 \cdot \rho \cdot d \cdot c}$

Проведем вычисления:

$\Delta T = \frac{(3,1416)^2 \cdot (0,10 \text{ Тл})^2 \cdot (1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2) \cdot (1 \text{ Гц})^2 \cdot 300 \text{ с}}{8 \cdot (1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot (8960 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot (385 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}})}$

$\Delta T = \frac{9,87 \cdot 0,01 \cdot 0,01 \cdot 1 \cdot 300}{8 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \cdot 8960 \cdot 385} \approx \frac{0,2961}{468,3} \approx 0,000632 \text{ К} \cdot 10^3 \approx 0,63 \text{ К}$

Ответ: $ \Delta T \approx 0,63 \text{ К} $