Номер 1345, страница 251 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Электроемкость конденсатора: $C$

Индуктивность первой катушки: $L_1$

Индуктивность второй катушки: $L_2$

Максимальная сила тока через первую катушку: $I_{max}$

Найти:

Первоначальный заряд конденсатора: $q$

Решение:

После замыкания ключа в цепи образуется колебательный контур. Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия электрического поля конденсатора в момент полного разряда перейдет в максимальную энергию магнитного поля двух катушек.

Начальная энергия, запасенная в конденсаторе, равна:

$W_C = \frac{q^2}{2C}$

Максимальная энергия, запасенная в двух катушках, равна сумме максимальных энергий каждой катушки:

$W_{L,max} = \frac{L_1 I_{1,max}^2}{2} + \frac{L_2 I_{2,max}^2}{2}$

где $I_{1,max}$ и $I_{2,max}$ — максимальные значения силы тока в первой и второй катушках соответственно. По условию, $I_{1,max} = I_{max}$.

По закону сохранения энергии:

$W_C = W_{L,max}$

$\frac{q^2}{2C} = \frac{L_1 I_{max}^2}{2} + \frac{L_2 I_{2,max}^2}{2}$

Катушки соединены параллельно, поэтому напряжение на них в любой момент времени одинаково. Напряжение на катушке индуктивности (ЭДС самоиндукции) определяется выражением $U_L = L \frac{di}{dt}$. Следовательно:

$U_1(t) = U_2(t)$

$L_1 \frac{di_1}{dt} = L_2 \frac{di_2}{dt}$

Проинтегрируем это равенство по времени от $0$ до $t$. Учитывая, что в начальный момент времени ($t=0$) токи в катушках были равны нулю ($i_1(0) = 0$, $i_2(0) = 0$), получим:

$L_1 i_1(t) = L_2 i_2(t)$

Это соотношение справедливо для любого момента времени, в том числе и для момента, когда токи достигают своих максимальных значений. Максимумы токов в обеих катушках достигаются одновременно, когда конденсатор полностью разряжен.

$L_1 I_{1,max} = L_2 I_{2,max}$

Подставим $I_{1,max} = I_{max}$ и выразим $I_{2,max}$:

$I_{2,max} = \frac{L_1}{L_2} I_{max}$

Теперь подставим это выражение в уравнение закона сохранения энергии:

$\frac{q^2}{2C} = \frac{L_1 I_{max}^2}{2} + \frac{L_2}{2} \left( \frac{L_1}{L_2} I_{max} \right)^2$

Упростим выражение:

$\frac{q^2}{C} = L_1 I_{max}^2 + L_2 \frac{L_1^2}{L_2^2} I_{max}^2$

$\frac{q^2}{C} = L_1 I_{max}^2 + \frac{L_1^2}{L_2} I_{max}^2$

Вынесем $I_{max}^2$ за скобки:

$\frac{q^2}{C} = I_{max}^2 \left( L_1 + \frac{L_1^2}{L_2} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\frac{q^2}{C} = I_{max}^2 \left( \frac{L_1 L_2 + L_1^2}{L_2} \right) = I_{max}^2 \frac{L_1(L_1 + L_2)}{L_2}$

Выразим $q^2$:

$q^2 = C I_{max}^2 \frac{L_1(L_1 + L_2)}{L_2}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $q$:

$q = I_{max} \sqrt{C \frac{L_1(L_1 + L_2)}{L_2}}$

Ответ: $q = I_{max} \sqrt{C \frac{L_1(L_1 + L_2)}{L_2}}$