Номер 1346, страница 251 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Емкость каждого конденсатора: $C$

Индуктивность катушки: $L$

Начальное напряжение на батарее конденсаторов: $U_{max}$

Время до пробоя: $\tau$

Найти:

Амплитудное значение заряда на непробитом конденсаторе: $q_{max}$

Решение:

1. Рассмотрим начальный колебательный контур (до момента времени $\tau$).

Два конденсатора емкостью $C$ каждый соединены последовательно. Их общая (эквивалентная) емкость $C_{общ}$ равна:

$\frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \Rightarrow C_{общ} = \frac{C}{2}$

В начальный момент времени ($t=0$) батарея конденсаторов заряжена до напряжения $U_{max}$, поэтому начальный заряд на батарее (и, соответственно, на каждом из конденсаторов) равен:

$Q_0 = C_{общ} U_{max} = \frac{C U_{max}}{2}$

Колебания в этом контуре происходят с циклической частотой $\omega_1$:

$\omega_1 = \frac{1}{\sqrt{L C_{общ}}} = \frac{1}{\sqrt{L (C/2)}} = \sqrt{\frac{2}{LC}}$

Заряд на конденсаторах и ток в катушке изменяются со временем по законам:

$q(t) = Q_0 \cos(\omega_1 t)$

$I(t) = -\frac{dq}{dt} = Q_0 \omega_1 \sin(\omega_1 t)$

2. В момент времени $t=\tau$ происходит пробой одного из конденсаторов. Найдем заряд на оставшемся конденсаторе и ток в катушке в этот момент.

Заряд на каждом из конденсаторов в момент $\tau$:

$q(\tau) = Q_0 \cos(\omega_1 \tau) = \frac{C U_{max}}{2} \cos\left(\tau\sqrt{\frac{2}{LC}}\right)$

Ток в катушке в момент $\tau$:

$I(\tau) = Q_0 \omega_1 \sin(\omega_1 \tau) = \frac{C U_{max}}{2} \sqrt{\frac{2}{LC}} \sin\left(\tau\sqrt{\frac{2}{LC}}\right)$

3. Рассмотрим состояние контура сразу после пробоя. Пробой означает, что один из конденсаторов закорочен. В контуре остаются катушка индуктивности $L$ и один (непробитый) конденсатор емкостью $C$.

Заряд на непробитом конденсаторе и ток в катушке не могут измениться мгновенно. Поэтому сразу после пробоя заряд на оставшемся конденсаторе равен $q(\tau)$, а ток в катушке равен $I(\tau)$.

Полная энергия нового колебательного контура $W_{нов}$ в этот момент складывается из энергии электрического поля оставшегося конденсатора и энергии магнитного поля катушки:

$W_{нов} = W_C + W_L = \frac{q(\tau)^2}{2C} + \frac{L I(\tau)^2}{2}$

Подставим выражения для $q(\tau)$ и $I(\tau)$:

$W_{нов} = \frac{1}{2C}\left(\frac{C U_{max}}{2} \cos(\omega_1 \tau)\right)^2 + \frac{L}{2}\left(\frac{C U_{max}}{2} \omega_1 \sin(\omega_1 \tau)\right)^2$

$W_{нов} = \frac{C^2 U_{max}^2}{8C} \cos^2(\omega_1 \tau) + \frac{L C^2 U_{max}^2 \omega_1^2}{8} \sin^2(\omega_1 \tau)$

Вспомним, что $\omega_1^2 = \frac{2}{LC}$, тогда $L\omega_1^2 = \frac{2}{C}$. Подставим это в выражение для энергии:

$W_{нов} = \frac{C U_{max}^2}{8} \cos^2(\omega_1 \tau) + \frac{C^2 U_{max}^2}{8} \left(\frac{2}{C}\right) \sin^2(\omega_1 \tau)$

$W_{нов} = \frac{C U_{max}^2}{8} \cos^2(\omega_1 \tau) + \frac{2C U_{max}^2}{8} \sin^2(\omega_1 \tau)$

$W_{нов} = \frac{C U_{max}^2}{8} (\cos^2(\omega_1 \tau) + 2\sin^2(\omega_1 \tau))$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$, получим:

$W_{нов} = \frac{C U_{max}^2}{8} (1 + \sin^2(\omega_1 \tau))$

4. Эта энергия $W_{нов}$ сохраняется в дальнейших колебаниях в новом контуре. Максимальная энергия в новом контуре будет полностью сосредоточена в конденсаторе, когда ток станет равен нулю. Эта энергия равна $\frac{q_{max}^2}{2C}$, где $q_{max}$ — новое амплитудное значение заряда.

Приравняем полную энергию нового контура к ее максимальному значению:

$\frac{q_{max}^2}{2C} = W_{нов} = \frac{C U_{max}^2}{8} (1 + \sin^2(\omega_1 \tau))$

Выразим $q_{max}$:

$q_{max}^2 = 2C \cdot \frac{C U_{max}^2}{8} (1 + \sin^2(\omega_1 \tau)) = \frac{C^2 U_{max}^2}{4} (1 + \sin^2(\omega_1 \tau))$

$q_{max} = \sqrt{\frac{C^2 U_{max}^2}{4} (1 + \sin^2(\omega_1 \tau))} = \frac{C U_{max}}{2} \sqrt{1 + \sin^2(\omega_1 \tau)}$

Подставим обратно выражение для $\omega_1$:

$q_{max} = \frac{C U_{max}}{2} \sqrt{1 + \sin^2\left(\tau\sqrt{\frac{2}{LC}}\right)}$

Ответ: $q_{max} = \frac{C U_{max}}{2} \sqrt{1 + \sin^2\left(\tau\sqrt{\frac{2}{LC}}\right)}$