Номер 1342, страница 251 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$C = 0,50$ мкФ

$U_{max} = 0,10$ кВ

$I_{max} = 2,0$ А

Перевод в систему СИ:

$C = 0,50 \cdot 10^{-6}$ Ф

$U_{max} = 0,10 \cdot 10^3$ В = $100$ В

Найти:

$\nu$ - ?

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Она периодически переходит из энергии электрического поля конденсатора $W_E$ в энергию магнитного поля катушки $W_M$ и обратно. В моменты времени, когда напряжение на конденсаторе максимально, ток в катушке равен нулю, и вся энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора. В моменты, когда ток в катушке максимален, напряжение на конденсаторе равно нулю, и вся энергия сосредоточена в магнитном поле катушки. Максимальные значения этих энергий равны друг другу:

$W_{E,max} = W_{M,max}$

Максимальная энергия электрического поля конденсатора определяется его емкостью $C$ и максимальным напряжением на нем $U_{max}$:

$W_{E,max} = \frac{C U_{max}^2}{2}$

Максимальная энергия магнитного поля катушки определяется ее индуктивностью $L$ и максимальной силой тока в ней $I_{max}$:

$W_{M,max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Для нахождения частоты можно использовать другой подход, основанный на связи между зарядом и током в контуре. Заряд на конденсаторе $q$ и сила тока в контуре $i$ изменяются со временем по гармоническому закону (например, синуса или косинуса):

$q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$

Сила тока является производной заряда по времени:

$i(t) = q'(t) = -q_{max} \omega \sin(\omega t)$

где $q_{max}$ — максимальный (амплитудный) заряд, а $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Из этих уравнений видно, что амплитудные значения заряда и тока связаны соотношением:

$I_{max} = q_{max} \omega$

Максимальный заряд на конденсаторе связан с максимальным напряжением и емкостью формулой:

$q_{max} = C U_{max}$

Подставим это выражение в формулу для максимального тока:

$I_{max} = C U_{max} \omega$

Отсюда можно выразить циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{I_{max}}{C U_{max}}$

Линейная частота колебаний $\nu$ связана с циклической частотой соотношением $\omega = 2\pi\nu$. Следовательно:

$2\pi\nu = \frac{I_{max}}{C U_{max}}$

Выразим искомую частоту $\nu$:

$\nu = \frac{I_{max}}{2\pi C U_{max}}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчеты:

$\nu = \frac{2,0 \text{ А}}{2\pi \cdot (0,50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot 100 \text{ В}} = \frac{2,0}{2\pi \cdot 0,50 \cdot 10^{-4}}$ Гц $ = \frac{2,0}{\pi \cdot 10^{-4}}$ Гц

$\nu \approx \frac{2,0 \cdot 10^4}{3,1416}$ Гц $\approx 6366$ Гц

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных:

$\nu \approx 6,4 \cdot 10^3$ Гц = $6,4$ кГц

Ответ: частота электромагнитных колебаний в контуре составляет примерно $6,4$ кГц.