Номер 1332, страница 249 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Закон изменения силы тока: $I(t) = A \cos(Bt)$

Амплитуда силы тока: $A = 0,10$ А

Циклическая частота: $B = 1,0 \cdot 10^6 \pi$ рад/с

Электроемкость конденсатора: $C = 10$ нФ

Перевод в систему СИ:

$C = 10 \cdot 10^{-9}$ Ф = $10^{-8}$ Ф

$B = 1,0 \cdot 10^6 \pi$ с$^{-1}$

Найти:

Закон изменения напряжения на катушке $U(t)$

Решение:

В идеальном колебательном контуре (LC-контуре) сумма напряжений на катушке индуктивности ($U_L$) и на конденсаторе ($U_C$) равна нулю в любой момент времени (согласно второму правилу Кирхгофа):

$U_L(t) + U_C(t) = 0$

Отсюда следует, что напряжение на катушке, которое мы ищем, $U(t) = U_L(t)$, равно напряжению на конденсаторе, взятому с противоположным знаком:

$U(t) = -U_C(t)$

Напряжение на конденсаторе определяется его зарядом $q(t)$ и емкостью $C$:

$U_C(t) = \frac{q(t)}{C}$

Сила тока $I(t)$ по определению является производной заряда по времени $I(t) = \frac{dq}{dt}$. Чтобы найти закон изменения заряда $q(t)$, нужно проинтегрировать по времени выражение для силы тока:

$q(t) = \int I(t) dt = \int A \cos(Bt) dt = \frac{A}{B} \sin(Bt) + q_0$

Постоянную интегрирования $q_0$ найдем из начальных условий. Из закона $I(t) = A \cos(Bt)$ следует, что при $t=0$ сила тока максимальна ($I(0) = A$). В этот момент вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушки, а энергия электрического поля конденсатора равна нулю. Это означает, что заряд на конденсаторе в момент $t=0$ также равен нулю: $q(0)=0$.

Подставим $t=0$ в полученное выражение для заряда: $q(0) = \frac{A}{B} \sin(B \cdot 0) + q_0 = 0 + q_0$. Так как $q(0)=0$, то и $q_0 = 0$.

Таким образом, закон изменения заряда:

$q(t) = \frac{A}{B} \sin(Bt)$

Теперь можем найти напряжение на конденсаторе:

$U_C(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{A}{BC} \sin(Bt)$

И, наконец, напряжение на катушке:

$U(t) = -U_C(t) = -\frac{A}{BC} \sin(Bt)$

Это и есть искомый закон. Найдем амплитудное значение напряжения $U_m$:

$U_m = \frac{A}{BC} = \frac{0,10 \text{ А}}{(1,0 \cdot 10^6 \pi \text{ с}^{-1}) \cdot (10 \cdot 10^{-9} \text{ Ф})} = \frac{0,1}{10^{-2} \pi} \text{ В} = \frac{10}{\pi}$ В.

Подставив числовые значения в общую формулу, получим окончательный вид закона изменения напряжения на катушке:

$U(t) = -\frac{10}{\pi} \sin(1,0 \cdot 10^6 \pi t)$

Ответ: $U(t) = -\frac{10}{\pi} \sin(1,0 \cdot 10^6 \pi t)$ (В).