Номер 1327, страница 246 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Частота звуковых колебаний $ν = 500$ Гц

Амплитуда колебаний $A = 0,250$ мм

Длина волны $λ = 700$ мм

Перевод в систему СИ:
$A = 0,250 \text{ мм} = 0,250 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$λ = 700 \text{ мм} = 700 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,7 \text{ м}$

Найти:

а) $v$ - ?

б) $v_{\text{max}}$ - ?

Решение:

а) модуль скорости v распространения звука

Скорость распространения волны $v$ связана с ее длиной $λ$ и частотой $ν$ соотношением:

$v = λ \cdot ν$

Подставим известные значения в данную формулу:

$v = 0,7 \text{ м} \cdot 500 \text{ Гц} = 350 \text{ м/с}$

Ответ: модуль скорости распространения звука равен $350$ м/с.

б) модуль максимальной скорости v_max колебаний частиц воздуха

Частицы воздуха в звуковой волне совершают гармонические колебания. Смещение частицы $x$ от положения равновесия описывается уравнением вида $x(t) = A \sin(ωt)$, где $A$ — амплитуда колебаний, а $ω$ — циклическая (круговая) частота.

Скорость колебаний частицы $v_{\text{частицы}}$ является первой производной от смещения по времени:

$v_{\text{частицы}}(t) = x'(t) = (A \sin(ωt))' = Aω \cos(ωt)$

Скорость достигает своего максимального значения $v_{\text{max}}$, когда множитель $\cos(ωt)$ равен $1$. Следовательно, модуль максимальной скорости:

$v_{\text{max}} = A \cdot ω$

Циклическая частота $ω$ связана с линейной частотой $ν$ по формуле:

$ω = 2πν$

Подставив это выражение в формулу для максимальной скорости, получим:

$v_{\text{max}} = A \cdot 2πν$

Теперь подставим числовые значения:

$v_{\text{max}} = 0,250 \cdot 10^{-3} \text{ м} \cdot 2 \cdot π \cdot 500 \text{ Гц} = 0,250 \cdot 10^{-3} \cdot 1000π \text{ м/с} = 0,25π \text{ м/с} \approx 0,785 \text{ м/с}$

Ответ: модуль максимальной скорости колебаний частиц воздуха составляет приблизительно $0,785$ м/с.