Номер 1320, страница 245 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Земля - однородный шар

Радиус Земли - $R$

Масса Земли - $M$

Гравитационная постоянная - $G$

Ускорение свободного падения на поверхности - $g$

Найти:

а) $x(t)$

б) $\Delta t$

в) $v$ в центре Земли

Решение

Введем систему координат с началом в центре Земли, ось $Ox$ направим вдоль шахты. Тело начинает падение с поверхности, поэтому его начальная координата $x(0) = R$, а начальная скорость $v(0) = 0$.

а) закон движения x(t) тела, упавшего в шахту

На тело массой $m$, находящееся на расстоянии $x$ от центра Земли ($x \le R$), действует сила тяготения, создаваемая только той частью массы Земли ($M_x$), которая заключена в сфере радиусом $x$. Масса внешнего сферического слоя не создает силы тяготения внутри себя.Плотность Земли, считая ее однородной, равна $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.Масса $M_x$ равна $M_x = \rho \cdot V_x = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi x^3 = M\frac{x^3}{R^3}$.Сила тяготения, действующая на тело, равна:$F(x) = -G\frac{mM_x}{x^2} = -G\frac{m}{x^2}\left(M\frac{x^3}{R^3}\right) = -\left(\frac{GMm}{R^3}\right)x$.Знак "минус" указывает, что сила является возвращающей, то есть направлена к центру Земли (положению равновесия).

Согласно второму закону Ньютона, $F = ma = m\frac{d^2x}{dt^2}$:$m\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{GMm}{R^3}x$.Сократив на $m$, получим дифференциальное уравнение движения:$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{GM}{R^3}x = 0$.Это уравнение описывает гармонические колебания вида $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0$, где циклическая частота $\omega = \sqrt{\frac{GM}{R^3}}$.Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g = \frac{GM}{R^2}$, откуда $GM=gR^2$. Подставим это в выражение для частоты:$\omega = \sqrt{\frac{gR^2}{R^3}} = \sqrt{\frac{g}{R}}$.

Общее решение уравнения гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$, где $A$ - амплитуда, а $\phi$ - начальная фаза. Найдем их из начальных условий.При $t=0$, $x(0)=R$: $R = A\cos(\phi)$.Скорость тела $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$.При $t=0$, $v(0)=0$: $0 = -A\omega\sin(\phi)$. Поскольку $A \ne 0$ и $\omega \ne 0$, то $\sin(\phi) = 0$, откуда $\phi=0$ или $\phi=\pi$.Если $\phi=0$, то из первого условия $R = A\cos(0) = A$.Если $\phi=\pi$, то $R = A\cos(\pi) = -A$, что невозможно, так как амплитуда $A$ по определению положительна.Таким образом, амплитуда колебаний $A=R$, а начальная фаза $\phi=0$.Закон движения тела: $x(t) = R\cos(\omega t)$.Подставляя значение $\omega$, получаем:$x(t) = R\cos\left(t\sqrt{\frac{g}{R}}\right)$.

Ответ: Закон движения тела имеет вид $x(t) = R\cos\left(t\sqrt{\frac{g}{R}}\right)$.

б) какой промежуток времени Δt понадобится телу, чтобы достигнуть противоположного конца шахты

Противоположный конец шахты находится в точке с координатой $x=-R$. Найдем время $\Delta t$, за которое тело достигнет этой точки:$x(\Delta t) = -R$$R\cos(\omega \Delta t) = -R$$\cos(\omega \Delta t) = -1$Наименьшее положительное значение, при котором косинус равен -1, достигается, когда его аргумент равен $\pi$:$\omega \Delta t = \pi$$\Delta t = \frac{\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\frac{R}{g}}$.Это время равно половине периода гармонических колебаний $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Ответ: Промежуток времени $\Delta t = \pi\sqrt{\frac{R}{g}}$.

в) модуль скорости v тела в центре Земли

Скорость тела максимальна в положении равновесия, то есть в центре Земли ($x=0$). Найдем ее, используя закон сохранения энергии.Потенциальная энергия тела в гравитационном поле внутри Земли, создаваемом силой $F(x) = -kx$ где $k = \frac{GMm}{R^3}$, равна $U(x) = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{GMm}{2R^3}x^2$ (если принять $U(0)=0$).Полная механическая энергия тела $E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{GMm}{2R^3}x^2$ сохраняется.В начальный момент времени ($t=0$) на поверхности Земли ($x=R$, $v=0$) полная энергия была:$E_{нач} = \frac{1}{2}m(0)^2 + \frac{GMm}{2R^3}R^2 = \frac{GMm}{2R}$.В центре Земли ($x=0$) скорость тела максимальна ($v=v_{max}$), и его энергия равна:$E_{центр} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_{max}^2$.По закону сохранения энергии $E_{нач} = E_{центр}$:$\frac{GMm}{2R} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$.$v_{max}^2 = \frac{GM}{R}$.Используя $g = \frac{GM}{R^2}$, получаем $GM = gR^2$:$v_{max}^2 = \frac{gR^2}{R} = gR$.Модуль скорости в центре Земли равен $v = v_{max} = \sqrt{gR}$.

Ответ: Модуль скорости тела в центре Земли равен $v = \sqrt{gR}$.