Номер 1315, страница 245 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус сферической полости: $R$

Промежуток времени: $\Delta t$

Условие малых колебаний: амплитуда $A \ll R$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

$n$ — количество раз, которое грузик побывает в положении равновесия.

Решение:

Движение небольшого грузика в идеально гладкой сферической полости при малых отклонениях от положения равновесия (самой нижней точки) представляет собой гармонические колебания. Такая система физически эквивалентна математическому маятнику, у которого длина подвеса $L$ равна радиусу кривизны поверхности, то есть $L = R$.

Период малых гармонических колебаний математического маятника определяется формулой:

$ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $

Для нашей задачи, заменяя $L$ на $R$, получаем период колебаний грузика:

$ T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}} $

За один полный период колебаний, который соответствует движению от одного крайнего положения до другого и обратно, грузик проходит положение равновесия дважды.

Чтобы определить, сколько раз $n$ грузик пересечет положение равновесия за время $\Delta t$, найдем частоту пересечения положения равновесия. Частота колебаний $\nu$ равна:

$ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{R}} $

Поскольку положение равновесия пересекается дважды за период, частота пересечений $\nu_{n}$ вдвое больше частоты колебаний:

$ \nu_{n} = 2\nu = 2 \cdot \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{R}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{g}{R}} $

Тогда общее число пересечений за время $\Delta t$ можно рассчитать как произведение частоты пересечений на время. Это дает нам расчетное, не обязательно целое, число:

$ n_{расч} = \nu_{n} \cdot \Delta t = \frac{\Delta t}{\pi} \sqrt{\frac{g}{R}} $

Так как в вопросе спрашивается "сколько раз", что подразумевает целое число, мы должны взять целую часть от полученного значения. Это математически записывается с помощью функции "пол" (floor function), которая обозначается как $ \lfloor x \rfloor $.

$ n = \lfloor n_{расч} \rfloor = \lfloor \frac{\Delta t}{\pi} \sqrt{\frac{g}{R}} \rfloor $

Ответ: $ n = \lfloor \frac{\Delta t}{\pi} \sqrt{\frac{g}{R}} \rfloor $