Номер 1312, страница 244 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S = 0,300 \text{ см}^2 = 0,300 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 3 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

$m = 484 \text{ г} = 0,484 \text{ кг}$

Найти:

$T$ - ?

Решение:

Колебания ртути в сообщающихся сосудах представляют собой гармонические колебания. Когда ртуть выводят из положения равновесия, возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в исходное состояние.

Допустим, уровень ртути в одном сосуде опустился на величину $x$. Так как жидкость несжимаема, в другом сосуде уровень поднимется на такую же величину $x$. В результате между уровнями ртути в сосудах образуется разность высот $h = 2x$.

Эта разность высот создает избыточное гидростатическое давление $\Delta p = \rho g h = 2\rho g x$, где $\rho$ – плотность ртути (справочное значение $\rho \approx 13600 \text{ кг/м}^3$), а $g$ – ускорение свободного падения ($g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$).

Избыточное давление, действуя на площадь поперечного сечения $S$, создает возвращающую силу $F_{возвр}$:

$F_{возвр} = - \Delta p \cdot S = -2 \rho g S x$

Знак "минус" показывает, что сила направлена противоположно смещению $x$.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает всей массе ртути $m$ ускорение $a$:

$ma = -2 \rho g S x$

Ускорение является второй производной от смещения по времени ($a = x''$). Подставив это в уравнение, получим дифференциальное уравнение движения:

$mx'' + 2 \rho g S x = 0$

Разделив на $m$, приведем его к стандартному виду уравнения гармонических колебаний $x'' + \omega^2 x = 0$:

$x'' + \frac{2 \rho g S}{m} x = 0$

Отсюда квадрат циклической частоты колебаний $\omega^2$ равен:

$\omega^2 = \frac{2 \rho g S}{m}$

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Следовательно, период колебаний ртути:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2 \rho g S}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0,484 \text{ кг}}{2 \cdot 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 3 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{0,484}{7,9968}} \approx 2\pi \sqrt{0,06052} \approx 6,283 \cdot 0,246 \approx 1,546 \text{ с}$

Округлим результат до трех значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных.

Ответ: $T \approx 1,55 \text{ с}$.