Номер 1305, страница 243 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Жесткость пружины: $k$

Масса груза: $m$

Скорость стола: $v$

Найти:

Амплитуда колебаний: $A$

Период колебаний: $T$

Модуль максимального ускорения: $a_{max}$

Решение:

Пока стол движется равномерно со скоростью $v$, груз на пружине также движется с этой скоростью. Поскольку движение равномерное и поверхность гладкая, пружина не деформирована (не сжата и не растянута). В момент резкой остановки стола, точка крепления пружины становится неподвижной, а груз, по инерции, продолжает движение со скоростью $v$. Этот момент соответствует прохождению грузом положения равновесия, так как сила упругости в этот момент равна нулю. Таким образом, скорость груза в положении равновесия $v_{max}$ равна начальной скорости $v$.

С какой амплитудой A груз начнет совершать колебания?

Для определения амплитуды воспользуемся законом сохранения механической энергии для системы "груз-пружина". Полная энергия системы в любой момент времени складывается из кинетической энергии груза и потенциальной энергии пружины: $E = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$.

В момент прохождения положения равновесия ($x=0$) потенциальная энергия пружины равна нулю, а кинетическая энергия максимальна. Полная энергия системы равна: $E = \frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

В точке максимального отклонения от положения равновесия (когда $x=A$) скорость груза становится равной нулю, а потенциальная энергия пружины максимальна. Полная энергия в этот момент: $E = \frac{kA^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, приравниваем эти два выражения: $\frac{kA^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда находим амплитуду $A$: $A^2 = \frac{m}{k}v^2 \implies A = v\sqrt{\frac{m}{k}}$

Ответ: $A = v\sqrt{\frac{m}{k}}$

Определите период T колебаний

Период гармонических колебаний пружинного маятника зависит только от массы груза $m$ и жесткости пружины $k$. Он вычисляется по формуле: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Определите модуль максимального ускорения a_max груза

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на груз, равна $F = -kx$. Ускорение груза $a = \frac{F}{m} = -\frac{k}{m}x$.

Модуль ускорения максимален, когда смещение от положения равновесия максимально, то есть когда $x=A$: $a_{max} = \frac{k}{m}A$

Подставим найденное ранее выражение для амплитуды $A = v\sqrt{\frac{m}{k}}$: $a_{max} = \frac{k}{m} \cdot \left(v\sqrt{\frac{m}{k}}\right) = v \cdot \frac{k}{m} \cdot \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{k}} = v \cdot \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{m}} = v\sqrt{\frac{k}{m}}$

Ответ: $a_{max} = v\sqrt{\frac{k}{m}}$