Номер 1303, страница 243 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Жесткость пружины: $k$

Масса бруска: $m$

Начальное смещение: $x(0) = x_0$

Начальная скорость: $\vec{v}_0$, направленная влево, модуль скорости равен $v_0$. Примем направление вправо за положительное, тогда проекция начальной скорости на ось x: $v_x(0) = -v_0$.

Найти:

Частоту $\nu$, амплитуду $A$, начальную фазу $\varphi_0$.

Решение:

Брусок, прикрепленный к пружине, на гладкой горизонтальной поверхности совершает гармонические колебания. Уравнение движения бруска в общем виде: $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\varphi_0$ — начальная фаза.

частоту ν

Циклическая частота колебаний пружинного маятника определяется по формуле: $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $. Линейная частота $\nu$ связана с циклической частотой соотношением: $\omega = 2\pi\nu$. Выразим отсюда линейную частоту:

$ \nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $

Ответ: $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

амплитуду A

Амплитуду колебаний найдем из закона сохранения полной механической энергии, так как трение отсутствует. Полная энергия системы $E$ в любой момент времени складывается из кинетической энергии бруска и потенциальной энергии пружины: $ E = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} $. В крайних точках траектории, когда смещение равно амплитуде ($x=\pm A$), скорость бруска равна нулю, и вся энергия является потенциальной: $ E = \frac{kA^2}{2} $. Приравняем полную энергию системы в начальный момент времени ($t=0$) к ее максимальному значению:

$ \frac{m(v_x(0))^2}{2} + \frac{k(x(0))^2}{2} = \frac{kA^2}{2} $

Подставим начальные условия $x(0) = x_0$ и $v_x(0) = -v_0$:

$ \frac{m(-v_0)^2}{2} + \frac{kx_0^2}{2} = \frac{kA^2}{2} $

$ mv_0^2 + kx_0^2 = kA^2 $

Выразим из этого уравнения амплитуду $A$:

$ A^2 = \frac{mv_0^2}{k} + x_0^2 $

$ A = \sqrt{x_0^2 + \frac{m}{k}v_0^2} $

Ответ: $A = \sqrt{x_0^2 + \frac{m}{k}v_0^2}$

начальную фазу φ₀

Для определения начальной фазы воспользуемся общими уравнениями для координаты и скорости при гармонических колебаниях:

$ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0) $

$ v_x(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi_0) $

Подставим в эти уравнения начальные условия для момента времени $t=0$:

$ x(0) = x_0 = A \cos(\varphi_0) \quad (1) $

$ v_x(0) = -v_0 = -A\omega \sin(\varphi_0) \implies v_0 = A\omega \sin(\varphi_0) \quad (2) $

Из уравнений (1) и (2) следует, что $\cos(\varphi_0) = \frac{x_0}{A} > 0$ и $\sin(\varphi_0) = \frac{v_0}{A\omega} > 0$, так как $x_0$, $v_0$, $A$ и $\omega$ — положительные величины. Это означает, что начальная фаза $\varphi_0$ находится в первой четверти ($0 < \varphi_0 < \pi/2$).

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$ \frac{A\omega \sin(\varphi_0)}{A \cos(\varphi_0)} = \frac{v_0}{x_0} $

$ \omega \tan(\varphi_0) = \frac{v_0}{x_0} $

$ \tan(\varphi_0) = \frac{v_0}{x_0\omega} $

Подставим выражение для циклической частоты $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$:

$ \tan(\varphi_0) = \frac{v_0}{x_0\sqrt{k/m}} = \frac{v_0}{x_0}\sqrt{\frac{m}{k}} $

Отсюда начальная фаза:

$ \varphi_0 = \arctan\left(\frac{v_0}{x_0}\sqrt{\frac{m}{k}}\right) $

Ответ: $\varphi_0 = \arctan\left(\frac{v_0}{x_0}\sqrt{\frac{m}{k}}\right)$