Номер 1301, страница 242 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса шара: $M$
Масса пули: $m$
Жесткость пружины: $k$
Начальная скорость пули: $v_0$
Удар абсолютно неупругий.

Найти:

Амплитуда колебаний: $A$
Период колебаний: $T$

Решение:

Процесс можно разделить на два этапа: абсолютно неупругий удар пули с шаром и последующие гармонические колебания системы «шар+пуля».

Определение периода T колебаний шара

После абсолютно неупругого удара пуля застревает в шаре, и они начинают двигаться как единое целое. Масса колеблющейся системы становится равной сумме масс шара и пули: $M_{общ} = M+m$.

Период гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{M_{общ}}{k}}$

Подставляя массу нашей системы, получаем:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{M+m}{k}}$

Ответ: Период колебаний $T = 2\pi\sqrt{\frac{M+m}{k}}$.

Определение амплитуды A колебаний шара

Для нахождения амплитуды сначала нужно определить скорость системы «шар + пуля» сразу после соударения. Поскольку удар происходит на гладкой горизонтальной поверхности и длится очень короткое время, можно применить закон сохранения импульса для системы в проекции на горизонтальную ось.

Импульс системы до удара: $p_1 = mv_0$ (шар покоится).

Импульс системы после удара: $p_2 = (M+m)u$, где $u$ — скорость системы сразу после удара.

Из закона сохранения импульса $p_1 = p_2$:

$mv_0 = (M+m)u$

Отсюда скорость системы после удара равна:

$u = \frac{mv_0}{M+m}$

Так как в момент удара шар находился в положении равновесия (пружина не деформирована), то скорость $u$ является максимальной скоростью колебательного движения ($u = v_{max}$).

Далее воспользуемся законом сохранения энергии для колебательной системы. Полная механическая энергия системы $E$ сохраняется и может быть выражена через максимальную кинетическую энергию (в положении равновесия) или максимальную потенциальную энергию (при максимальном отклонении, равном амплитуде $A$).

$E = E_{k,max} = E_{p,max}$

$\frac{(M+m)u^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$

Отсюда выражаем амплитуду $A$:

$A^2 = \frac{(M+m)u^2}{k} \implies A = u\sqrt{\frac{M+m}{k}}$

Подставим выражение для скорости $u$:

$A = \frac{mv_0}{M+m}\sqrt{\frac{M+m}{k}} = mv_0 \frac{\sqrt{M+m}}{(M+m)\sqrt{k}} = \frac{mv_0}{\sqrt{k(M+m)}}$

Ответ: Амплитуда колебаний $A = \frac{mv_0}{\sqrt{k(M+m)}}$.