Номер 1304, страница 243 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Пружинный маятник.

Начальные условия: $t_0 = 0, x_0 = A, v_0 = 0$ (тело отпущено из положения максимального отклонения).

Условие равенства энергий: $E_k = E_p$.

Найти:

Промежуток времени $\Delta t$ в долях периода $T$.

Решение:

Полная механическая энергия $E$ пружинного маятника (при отсутствии трения) сохраняется и равна сумме кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$.

$E = E_k + E_p$

По условию задачи требуется найти момент времени, когда кинетическая энергия колеблющегося тела будет равна потенциальной энергии пружины:

$E_k = E_p$

Подставим это условие в закон сохранения энергии:

$E = E_p + E_p = 2E_p$

Из этого соотношения следует, что в искомый момент времени потенциальная энергия составляет половину от полной энергии системы:

$E_p = \frac{1}{2} E$

Потенциальная энергия пружины определяется ее деформацией (смещением тела $x$ от положения равновесия) по формуле:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ – жесткость пружины.

Полная энергия маятника постоянна и равна ее максимальному значению, которое достигается в точках максимального отклонения (при $x = \pm A$, где $A$ – амплитуда), когда скорость равна нулю и вся энергия является потенциальной:

$E = E_{p,max} = \frac{kA^2}{2}$

Теперь приравняем выражения, используя соотношение $E_p = \frac{1}{2} E$:

$\frac{kx^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{kA^2}{2} \right)$

Упростим полученное уравнение:

$x^2 = \frac{A^2}{2}$

Отсюда находим смещение $x$, при котором выполняется условие задачи:

$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$

Таким образом, равенство энергий достигается, когда тело находится в точках с координатами $x = \pm A/\sqrt{2}$.

Поскольку по условию маятник вывели из положения равновесия и отпустили, его движение начинается из точки с максимальным смещением $x=A$ при $t=0$. Уравнение гармонических колебаний для этого случая имеет вид:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

где $\omega = \frac{2\pi}{T}$ – циклическая частота, а $T$ – период колебаний.

Найдем наименьший промежуток времени $\Delta t = t > 0$, за который маятник из положения $x=A$ достигнет положения $x = A/\sqrt{2}$ (это первая точка на пути, где энергии сравняются).

$\frac{A}{\sqrt{2}} = A \cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$

$\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Наименьшее положительное решение этого тригонометрического уравнения соответствует значению аргумента, равному $\pi/4$.

$\frac{2\pi}{T}t = \frac{\pi}{4}$

Выразим из этого уравнения время $t$:

$t = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{8}$

Этот промежуток времени и является искомым.

Ответ: Кинетическая энергия колеблющегося тела будет равна потенциальной энергии пружины через промежуток времени $\Delta t = T/8$.