Номер 1310, страница 244 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса стакана, $m = 0,10$ кг

Площадь поперечного сечения стакана, $S = 20$ см$^2$

Плотность воды, $\rho_в \approx 1000$ кг/м$^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:

$S = 20 \text{ см}^2 = 20 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$.

Найти:

Период вертикальных гармонических колебаний, $T$ - ?

Решение:

Когда стакан плавает на поверхности воды, он находится в положении равновесия. Это означает, что действующие на него силы скомпенсированы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вниз, уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_A$, направленной вверх.

$F_т = F_A$

Пусть в положении равновесия стакан погружен в воду на глубину $h_0$. Тогда объем погруженной части стакана равен $V_0 = S \cdot h_0$. Сила Архимеда определяется как вес вытесненной жидкости:

$F_A = \rho_в g V_0 = \rho_в g S h_0$

Таким образом, условие равновесия записывается как:

$mg = \rho_в g S h_0$

Если сместить стакан из положения равновесия вертикально вниз на малую величину $x$, то глубина его погружения увеличится и станет равной $h = h_0 + x$. Это приведет к увеличению выталкивающей силы, так как объем погруженной части станет $V' = S(h_0+x)$. Новая сила Архимеда будет равна:

$F'_A = \rho_в g S (h_0 + x)$

Равнодействующая сила, действующая на стакан, будет направлена вверх и будет стремиться вернуть стакан в положение равновесия. Эта сила является возвращающей силой $F_{возвр}$:

$F_{возвр} = F'_A - F_т = \rho_в g S (h_0 + x) - mg$

Используя условие равновесия $mg = \rho_в g S h_0$, преобразуем выражение для возвращающей силы:

$F_{возвр} = \rho_в g S h_0 + \rho_в g S x - \rho_в g S h_0 = \rho_в g S x$

Возвращающая сила пропорциональна смещению $x$. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения стакана имеет вид $ma = -F_{возвр}$ (знак "минус" указывает на то, что сила направлена противоположно смещению). Таким образом, $ma = -(\rho_в g S)x$.

Это уравнение описывает гармонические колебания. Оно имеет вид $ma = -kx$, где $k$ – коэффициент, аналогичный жесткости пружины. В данном случае:

$k = \rho_в g S$

Период гармонических колебаний системы определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим в эту формулу выражение для коэффициента $k$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho_в g S}}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{0,10 \text{ кг}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{0,10}{19,6}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{196}} = 2\pi \cdot \frac{1}{14} = \frac{\pi}{7} \text{ с}$

Вычислим приближенное значение периода:

$T \approx \frac{3,14159}{7} \approx 0,4488 \text{ с}$

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных, получаем:

Ответ: $T \approx 0,45$ с.