Номер 1311, страница 244 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина цилиндрического бруска: $l$

Плотность нижней жидкости: $\rho_1$

Плотность верхней жидкости: $\rho_2$

Условие: $\rho_1 > \rho_2$

В положении равновесия половина бруска находится ниже границы раздела жидкостей.

Найти:

Период колебаний бруска $T$.

Решение:

Пусть $S$ - площадь поперечного сечения бруска, а $\rho$ - его плотность.

1. Условие равновесия.

В положении равновесия сила тяжести $F_g$, действующая на брусок, уравновешена суммарной выталкивающей силой (силой Архимеда) $F_A$, действующей со стороны двух жидкостей.

Масса бруска: $m = \rho \cdot V = \rho S l$.

Сила тяжести: $F_g = m g = \rho S l g$.

По условию, в положении равновесия объем погруженной части бруска в нижнюю жидкость (с плотностью $\rho_1$) равен $V_1 = S \frac{l}{2}$, а в верхнюю (с плотностью $\rho_2$) - $V_2 = S \frac{l}{2}$.

Суммарная выталкивающая сила равна:

$F_A = F_{A1} + F_{A2} = \rho_1 g V_1 + \rho_2 g V_2 = \rho_1 g S \frac{l}{2} + \rho_2 g S \frac{l}{2} = (\rho_1 + \rho_2) g S \frac{l}{2}$.

Приравнивая силу тяжести и выталкивающую силу:

$F_g = F_A$

$\rho S l g = (\rho_1 + \rho_2) g S \frac{l}{2}$

Отсюда находим плотность бруска:

$\rho = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$.

Массу бруска можно выразить через плотности жидкостей:

$m = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2} S l$.

2. Возвращающая сила при колебаниях.

Выведем брусок из положения равновесия, сместив его вертикально вниз на малую величину $x$. Тогда длина части бруска в нижней жидкости станет $(\frac{l}{2} + x)$, а в верхней - $(\frac{l}{2} - x)$.

Новая выталкивающая сила $F'_A$ будет равна:

$F'_A = \rho_1 g S (\frac{l}{2} + x) + \rho_2 g S (\frac{l}{2} - x)$

$F'_A = (\rho_1 g S \frac{l}{2} + \rho_2 g S \frac{l}{2}) + (\rho_1 g S x - \rho_2 g S x)$

Первое слагаемое в скобках - это выталкивающая сила в положении равновесия $F_A$, которая равна силе тяжести $F_g$.

$F'_A = F_g + g S (\rho_1 - \rho_2) x$.

Равнодействующая сила, действующая на брусок, направлена вверх и является возвращающей силой $F_{возвр}$:

$F_{возвр} = F_g - F'_A = F_g - (F_g + g S (\rho_1 - \rho_2) x) = - g S (\rho_1 - \rho_2) x$.

Полученное уравнение имеет вид $F = -kx$, что является уравнением гармонических колебаний. Коэффициент жесткости $k$ в данном случае равен:

$k = g S (\rho_1 - \rho_2)$.

3. Период колебаний.

Период гармонических колебаний определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим выражения для массы $m$ и коэффициента $k$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{\rho_1 + \rho_2}{2} S l}{g S (\rho_1 - \rho_2)}}$

Сократив площадь сечения $S$, получаем окончательное выражение для периода колебаний:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l (\rho_1 + \rho_2)}{2g (\rho_1 - \rho_2)}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l (\rho_1 + \rho_2)}{2g (\rho_1 - \rho_2)}}$.