Номер 1306, страница 243 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса тела: $m$

Высота падения: $h$

Жесткость пружины: $k$

Найти:

Амплитуда колебаний: $A$

Энергия колебаний: $W$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Сначала определим положение равновесия системы и ее энергию в начальный момент колебаний.

Положение равновесия, вокруг которого происходят колебания, находится там, где сила упругости пружины $F_{упр} = kx_0$ уравновешивает силу тяжести тела $F_g = mg$. Отсюда статическое сжатие пружины:

$x_0 = \frac{mg}{k}$

Скорость тела $v$ в момент падения на чашку найдем из закона сохранения энергии для свободного падения:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh}$

Полная энергия гармонических колебаний $W$ равна сумме кинетической и потенциальной энергии системы (отсчитанной от положения равновесия) в любой момент времени. В момент падения тела на чашку (начало колебаний), смещение от положения равновесия равно $y=x_0$, а скорость равна $v$.

Энергия колебаний $W$ составляет:

$W = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}ky^2 = \frac{1}{2}m(2gh) + \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2 = mgh + \frac{m^2g^2}{2k}$

Теперь, зная энергию, найдем искомые величины.

Амплитуда А колебаний

Полная энергия гармонических колебаний связана с амплитудой $A$ соотношением $W = \frac{1}{2}kA^2$. Используя найденное выше выражение для энергии $W$, найдем амплитуду:

$\frac{1}{2}kA^2 = mgh + \frac{m^2g^2}{2k}$

Выражаем $A^2$:

$A^2 = \frac{2}{k}\left(mgh + \frac{m^2g^2}{2k}\right) = \frac{2mgh}{k} + \frac{m^2g^2}{k^2}$

Следовательно, амплитуда равна:

$A = \sqrt{\frac{2mgh}{k} + \left(\frac{mg}{k}\right)^2}$

Ответ: $A = \sqrt{\frac{2mgh}{k} + \left(\frac{mg}{k}\right)^2}$

и их энергию W

Энергия колебаний была определена в ходе решения как полная механическая энергия системы в момент начала колебаний, отсчитанная относительно нового положения равновесия. Она складывается из кинетической энергии тела в момент падения и потенциальной энергии пружины, связанной со смещением от положения равновесия в тот же момент.

$W = mgh + \frac{m^2g^2}{2k}$

Ответ: $W = mgh + \frac{m^2g^2}{2k}$