Номер 1300, страница 242 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса тела: $m$

Жесткость первой пружины: $k_1$

Жесткость второй пружины: $k_2$

Найти:

Период колебаний $T$

Решение:

Период гармонических колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{эфф}}}$

где $m$ — масса колеблющегося тела, а $k_{эфф}$ — эффективная жесткость системы пружин.

Для нахождения эффективной жесткости сместим тело из положения равновесия (в котором, по условию, пружины не деформированы) на небольшое расстояние $x$. Пусть смещение произошло вправо.

При этом первая пружина (с жесткостью $k_1$) растянется на величину $x$. Со стороны этой пружины на тело будет действовать сила упругости $F_1$, направленная влево (противоположно смещению). По закону Гука ее модуль равен $F_1 = k_1 x$.

Вторая пружина (с жесткостью $k_2$) сожмется на величину $x$. Со стороны этой пружины на тело также будет действовать сила упругости $F_2$, направленная влево (противоположно смещению). Ее модуль равен $F_2 = k_2 x$.

Так как обе силы $F_1$ и $F_2$ направлены в одну сторону (влево), то результирующая возвращающая сила $F_{возвр}$, действующая на тело, равна их сумме:

$F_{возвр} = F_1 + F_2 = k_1 x + k_2 x = (k_1 + k_2)x$

С другой стороны, для системы в целом возвращающая сила связана с эффективной жесткостью как $F_{возвр} = k_{эфф} x$.

Сравнивая два полученных выражения для $F_{возвр}$, находим эффективную жесткость системы:

$k_{эфф} = k_1 + k_2$

Такая жесткость соответствует параллельному соединению пружин. Теперь подставим значение $k_{эфф}$ в формулу для периода колебаний:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$