Номер 1295, страница 241 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Жесткость первой пружины: $k_1$

Жесткость второй пружины: $k_2$

Масса груза: $m$

(Перевод в систему СИ не требуется, так как решение выводится в общем виде)

Найти:

Отношение периодов колебаний при последовательном и параллельном соединении пружин: $\frac{T_{посл}}{T_{пар}}$

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, где $m$ — масса груза, а $k$ — жесткость пружинной системы.

Рассмотрим два случая соединения пружин.

1. Параллельное соединение.

При параллельном соединении общая (эквивалентная) жесткость системы равна сумме жесткостей отдельных пружин:

$k_{пар} = k_1 + k_2$

Тогда период колебаний для этого случая будет:

$T_{пар} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{пар}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$

2. Последовательное соединение.

При последовательном соединении общая жесткость системы находится из соотношения:

$\frac{1}{k_{посл}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{k_2 + k_1}{k_1 k_2}$

Отсюда эквивалентная жесткость равна:

$k_{посл} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$

Период колебаний для последовательного соединения:

$T_{посл} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{посл}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$

3. Нахождение отношения периодов.

Теперь найдем, во сколько раз отличаются периоды, разделив $T_{посл}$ на $T_{пар}$:

$\frac{T_{посл}}{T_{пар}} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}} = \sqrt{\frac{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}{\frac{m}{k_1 + k_2}}} = \sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2} \cdot \frac{k_1 + k_2}{m}}$

Сократив $m$, получаем:

$\frac{T_{посл}}{T_{пар}} = \sqrt{\frac{(k_1 + k_2)^2}{k_1 k_2}} = \frac{k_1 + k_2}{\sqrt{k_1 k_2}}$

Так как жесткость всегда положительна, $k_{пар} = k_1 + k_2 > \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} = k_{посл}$. Это означает, что $T_{посл}$ всегда будет больше $T_{пар}$.

Ответ: Периоды колебаний будут отличаться в $\frac{k_1 + k_2}{\sqrt{k_1 k_2}}$ раз. Период при последовательном соединении будет больше, чем при параллельном.